Kezdőlap


Feladat:	373. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Kisvölcsey Jenő , Musulin Mária , Párkányi László
Füzet:	1957/március, 88. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Oszthatósági feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/november: 373. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyen a két páratlan szám; $2 m + 1$ és $2 n + 1$ ,
akkor

\begin{matrix} {(2 m + 1)}^{2} - {(2 n + 1)}^{2} = 4 m^{2} + 4 m + 1 - 4 n^{2} - 4 n - 1 = \\ = 4 [m (m + 1) - n (n + 1)] \end{matrix}

A szögletes zárójelben mindkét tag két-két egymást követő szám szorzata, tehát páros, és így különbségük is páros. Páros szám

4

-szerese pedig osztható

8

-cal.

Musulin Mária (Mezőtúr, Teleki Blanka lg. I. o. t.)

II. megoldás: Legyen

a

és

b

két tetszőleges páratlan szám. Ha

a = b

, akkor állításunk nyilvánvaló, feltehetjük tehát, hogy

a > b

\begin{matrix} a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b), \end{matrix}

ahol

a + b

és

a - b

páros számok.
Legyen

a - b = 2 k

, akkor

a + b = 2 (k + b)

,
és így

\begin{matrix} (a + b) (a - b) = 4 k (k + b) . \end{matrix}

k

páros, akkor

4 k

, ha

k

páratlan, akkor

4 (k + b)

osztható

8

-cal.

Párkányi László (Bp. I., Petőfi g. I. o. t.)

III. megoldás: Minden páratlan szám

4 p \pm 1

alakú. Két páratlan szám négyzeteinek különbsége tehát

\begin{matrix} {(4 p \pm 1)}^{2} - {(4 q \pm 1)}^{2} = 16 p^{2} \pm 8 p + 1 - 16 q^{2} \mp 8 q - 1 = \\ = 8 (2 p^{2} - 2 q^{2} \pm p \mp q), \end{matrix}

amiből a feladat állítása következik.

Kisvölcsey Jenő (Bp. VIII., Piarista g. II. o. t.)