Feladat:	372. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bender Cecilia ,  Bognár László ,  Bärnkopf R. ,  Csanak Gy. ,  Dániel G. ,  Endrődy T. ,  Grallert F. ,  Gyene A. ,  Hornyánszky T. ,  Kolonits F. ,  Lefkovitsch S. ,  Losonczy L. ,  Magos A. ,  Máthé Cs. ,  Mihályffy L. ,  Nemetz T. ,  Papp Éva ,  Sikabonyi Gy. ,  Szász D. ,  Tamás Gy. ,  Tatai P. ,  Trón L.
Füzet:	1957/március, 87 - 88. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Beírt kör, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/október: 372. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. ábra   Meg kell vizsgálnunk, hogy a megszerkesztett $ABC$ háromszög $A$-nál fekvő szöge, beírt körének sugara és kerülete megegyezik-e az adott értékekkel. Meg fogjuk mutatni, hogy igen. 1. Az $A$ csúcsnál levő szög. szerkesztés szerint $\alpha$. 2. Igazoljuk, hogy $O$ az $ABC$ háromszögbe írt kör középpontja, amiből már következik, hogy e kör sugara $\varrho$, mert szerkesztés szerint ekkora az $O$ pont távolsága a $BC$ egyenestől. Mivel $D$ felezi a $\underset{}{\overset{⌢}{BC}}$ ívet, így $AB$ felezi a $BAC$ szöget. A másik két szögfelező a $BC$ oldallal $\frac{\beta }{2}$ és $\frac{\gamma }{2}$ szöget zár be, tehát egymással ${180}^{\circ }-\frac{\beta }{2}-\frac{\gamma }{2}={90}^{\circ }+\frac{\alpha }{2}$ a nagyságú szöget. Mivel az $\alpha$ szög szögfelezőjén csak egy pont van, amelyből a $BC$ oldal ekkora szög alatt látszik, elég megmutatni, hogy $O$ ilyen pont. Az $ABDC$ húrnégyszögben az $\alpha$ szöggel szemközti szögre $BDC\sphericalangle ={180}^{\circ }-\alpha$, és így a $D$ középpontú, $B$ és $C$-n átmenő körben az $O$-t nem tartalmazó $\underset{}{\overset{⌢}{BC}}$ ívhez tartozó középpontú szög ${180}^{\circ }+\alpha$ (2. ábra), tehát mint ezen az íven nyugvó kérületi szög $BOC\sphericalangle ={90}^{\circ }+\frac{\alpha }{2}$, ami bizonyítandó volt.     2. ábra   3. Érintse a beírt kör a $BC$, $CA$, $AB$ oldalakat rendre a $P$, $Q$, $R$ pontokban. Egy $\alpha$ nagyságú szög csúcsától a szárakat érintő $\varrho$ sugarú kör érintési pontjáig terjedő szakaszok hossza $s_1$, továbbá a szerkesztés szerint $s_1+BC=s$, így a háromszög kerülete $\begin{array}{c}{\displaystyle AB+BC+CA=AR+RB+BC+CQ+QA=s_1+BP+BC+CP+s_1=2s_1+2BC=2s\mathrm{.}}\end{array}$   Az $AB{C}_{▵}$ tehát megfelel a szerkesztés követelményeinek.   Bognár László (Veszprém, Lovassy L. g. II. o. t.)