Kezdőlap


Feladat:	371. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartha László , Simonfai László
Füzet:	1957/március, 85 - 86. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szögfelező egyenes, Körök, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/október: 371. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Azon $P$ pontok mértani helye a síkban, amelyekre nézve $\frac{P A}{P B} = \frac{2}{3}$ egy Apollonius-féle kör, amelynek $X Y$ átmérője az $A B$ egyenesen van, ahol $\frac{A X}{X B} = \frac{2}{3}$ és $\frac{A Y}{Y B} = - \frac{2}{3}$ . Az $X$ és $Y$ osztópontokat megszerkesztve (1. ábra), az $X Y$ fölé, mint átmérő fölé, rajzolt Apollonius-kör metszi ki az adott körből a keresett $P_{1}$ és $P_{2}$ pontokat.

1. ábra

Mivel szükségképpen az

A

pont

X

és

Y

, és az

X

pont

A

és

B

között van, azért mindig van

2

, és csakis

2

megoldás.

Bartha László (Balassagyarmat, Balassa g. II. o. t.)

II. megoldás: Ismeretes, hogy a háromszög szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja. Tehát ha az

A P B_{▵}

P

csúcsából kiinduló szögfelező átmegy az

A B

oldal azon

X

pontján, amelyre nézve

\frac{A X}{X B} = \frac{2}{3}

, továbbá felezi az

{A B}_{}^{⌢}

körívet.

2. ábra

Eszerint a szerkesztés menete: az

{A B}_{}^{⌢}

ív felezőpontját összekötjük az öt részre osztott

A B

szakasznak

A

-tól számított második osztópontjával,

X

-szel, az így nyert egyenes metszi ki a körből a keresett

P

pontot. Mivel két

{A B}_{}^{⌢}

ív van, és így két felezőpont is:

F_{1}

és

F_{2}

(2. ábra), azért két megoldás van:

P_{1}

és

P_{2}

Simonfai László (Bp. II., Rákóczi g. II. o. t.)

Megjegyzés: Mindkét megoldás természetesen általánosítható arra az esetre, ha az adott arányszám

\frac{2}{3}

helyett tetszőleges

\frac{m}{n}