Feladat: 370. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Nemetz Tibor 
Füzet: 1957/március, 85. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Négyszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1956/október: 370. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsünk el a feladat egyéb követelésétől, és szerkesszünk olyan ABCD négyzetet, amelynek A csúcsa az OP, B csúcsa az OQ szakaszon van úgy, hogy a két idom szimmetria tengelye (a körcikk: szögfelezője és a négyzet oldalfelezője) egybeesik, amihez elégséges, hogy OA=OB legyen (ld. az ábrát).

 
 
1. ábra
 

Ha egy tetszőleges ilyen ABCD négyzetet azzal a körívvel együtt szemlélünk, amelyet O-ból rajzolunk, C és D-n át, akkor azonnal látható, hogy az ábrát az O hasonlósági pontból felnagyítva (vagy kicsinyítve) az adott körcikk méreteire, megkapjuk a feladatban kívánt négyzetet.
Vetítsük tehát O-ból a C és D csúcspontokat a körívre, akkor megkapjuk a keresett A'B'C'D' négyzetnek C'D' oldalát. A teljes négyzet megszerkesztése már kézenfekvő.
Mivel a körívnek és az OC, ill. OD félegyeneseknek csakis egy-egy metszéspontja lehet, ezért ‐ ha van megoldás ‐ mindig csak egyetlenegy megoldás van.
Ha a POQ∢≤180∘, akkora négyzet a körcikkben van. Ha 180∘<POQ∢≤270∘, akkor a négyzet egy része a körcikken kívül van, bár a többi feltétel teljesül. Ha 270∘<POQ∢<360∘, megoldás nincs.
 

Nemetz Tibor (Csurgó, Csokonai g. II. o. t.)