Kezdőlap


Feladat:	369. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartha L. , Bognár László , Bóné A. , Csanak Gy. , Dániel G. , Endrődy T. , Gémesi Gabriella , Grallert F. , Gyene A. , Kesselyák M. , Magos A. , Majtényi S. , Méthé Cs. , Perneczky G. , Simonfai L. , Somkuti Piroska , Szász Domokos , Tatai P. , Téry L. , Trón L. , Zsigmond Ildikó
Füzet:	1957/február, 58 - 60. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Súlyvonal, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/október: 369. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Megmutatjuk, hogy az adott súlyvonalakkal szerkesztett háromszög szögei megegyeznek a keresett háromszög súlyvonalainak egymással bezárt szögeivel. Képzeljük a feladatot megoldottnak. A betűzést és jelölést az 1. ábra mutatja.

1. ábra

Húzzuk meg a

C B S ▵

-ben az

A_{1} F

középvonalat, akkor az így nyert

A_{1} S F ▵

oldalai ‐ mint ismeretes ‐ a súlyvonalak harmadrészei:

A_{1} S = \frac{1}{3} s_{a}

S F = \frac{S C}{2} = \frac{1}{3} s_{c}

, és

F A_{1} = \frac{S B}{2} = \frac{1}{3} s_{b}

A_{1} F S ▵

szögeire vonatkozólag pedig az ábráról leolvasható:

A_{1} ∢ = ε_{3}

, és

F ∢ = ε_{1}

mint váltószögek,

S ∢ = ε_{2}

mint csúcsszög. Ezzel állításunkat igazoltuk.
A meggondolás azt mutatja, hogy egy háromszög súlyvonalaiból mindig szerkeszthető háromszög.
A megszerkesztett

s_{a}

s_{b}

s_{c}

oldalú háromszögben az ezen oldalakkal szemben fekvő szögek rendre

ε_{1} = s_{b} s_{c} ∢

ε_{2} = s_{a} s_{c} ∢

ε_{3} = s_{b} s_{c} ∢

. E szögek ismeretében a keresett

A B C ▵

már könnyen szerkeszthető.
A megoldhatóság feltétele, hogy az adott

s_{a}

s_{b}

s_{c}

szakaszokból háromszög legyen szerkeszthető, vagyis bármelyik kettő összege nagyobb legyen a harmadiknál.

Bognár László (Veszprém, Lovassy L. g. II. o. t.)

II. megoldás: Képzeljük a feladatot megoldottnak. Legyen az

S

súlypontnak centrális tükörképe egy oldal, pl.

B C

oldal

A_{1}

felezőpontjára (2. ábra) nézve

S'

2. ábra

A nyert

S B S' C

négyszög paralelogramma, mert az átlók felezik egymást, és így

S' C # B S = \frac{2}{3} s_{b}

. Továbbá, mint ismeretes,

C S = \frac{2}{3} s_{c}

és

S S' = 2 S A_{1} = 2 \cdot \frac{1}{3} s_{a} = \frac{2}{3} s_{a}

. Tehát az

S S' C_{△}

oldalai rendre

\frac{2}{3} s_{a}

\frac{2}{3} s_{b}

\frac{2}{3} s_{c}

, és így ez a háromszög egyszerűen megszerkeszthető.

3. ábra

S S' C ▵

kiegészítése

A B C

háromszöggé kézenfekvő, amint azt a 3. ábra mutatja.

Szász Domokos (Bp. V., Eötvös J. g. II. o. t.)

Megjegyzés: Figyeljük meg: Az

S S' C_{△}

súlyvonalai egyenlők az

A B C_{△}

oldalainak felével. Ebből az is következik, hogy ha az

s_{a}

s_{b}

s_{c}

oldalakkal szerkesztünk háromszöget (I. megoldás), akkor ebben a háromszögben a súlypont távolsága a csúcspontoktól egyenlő a keresett háromszög oldalainak felével. (Újabb szerkesztési mód.)