Kezdőlap


Feladat:	368. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Biszterszky P. , Grallert F. , Hajna J. , Hornyánszky T. , Losonczy L. , Magos András , Ortutay Miklós , Papp Éva , Rátkay Z. , Szász D. , Tatai Péter
Füzet:	1957/február, 56 - 58. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Együttes munkára vonatkozó feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/október: 368. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Tekintsük az egész munkát egységnek, és jelöljük $A$ , $B$ , $C$ , $D$ 1 napi teljesítményét rendre $x$ , $y$ , $z$ , $u$ -val, akkor a feladat szerint

\begin{matrix} x + y + z & = \frac{1}{12}, & (1) \\ x + y + u & = \frac{1}{15}, & (2) \\ x + z + u & = \frac{1}{18}, & (3) \\ y + z + u & = \frac{1}{20} . & (4) \end{matrix}

E négy egyenletet összeadva:

\begin{matrix} 3 (x + y + z + u) = \frac{1}{12} + \frac{1}{15} + \frac{1}{18} + \frac{1}{20} = \frac{138}{540} = \frac{23}{90}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} x + y + z + u = \frac{23}{270} . \end{matrix}

(5)

Tehát a négy munkás együtt dolgozva

270 : 23 = 11 \frac{17}{23}

nap alatt végezné el az egész munkát.
a) Ha (5)-ből kivonjuk (4)-et, megkapjuk

A

1 napi teljesítményét

\begin{matrix} x = \frac{23}{270} - \frac{1}{20} = \frac{19}{540} . \end{matrix}

Ezt a munkát ‐ mely az első napon kiesett ‐ kell a végén,

11 \frac{17}{23}

nap után, együttes munkával pótolni. Mivel négyen együtt 1 nap alatt

\frac{46}{540}

-et teljesítenek, azért

\frac{19}{540}

teljesítéséhez

\frac{19}{46}

napra van szükségük, tehát ‐ ha

A

az első napon hiányzik ‐ akkor a munka

\begin{matrix} 11 \frac{34}{46} + \frac{19}{46} = 12 \frac{7}{46} \end{matrix}

nap alatt készül el.

b) 11 munkanap alatt együttesen elvégeznek

11 \cdot \frac{23}{270} = \frac{253}{270}

-et, marad tehát az utolsó napra

\frac{17}{270}

. Ezen az utolsó napon csak

A

B

D

dolgozik.

A

B

és

D

1 napi teljesítménye

\frac{1}{15}

, tehát

\frac{17}{270}

-et

\frac{17}{270} : \frac{1}{15} = \frac{17 \cdot 15}{270} = \frac{17}{18}

nap alatt teljesítenek.

Tehát a b) esetben

11 \frac{17}{18}

nap alatt készül el a munka.

Magos András (Bp. II., Rákóczi g. II. o. t.)

II. megoldás: a)

A

nélkül az első napon, amint azt (4) mutatja

\frac{1}{20}

készül el, tehát marad

\frac{19}{20}

. Mivel (5) szerint együttesen dolgozva 1 nap alatt

\frac{23}{270}

-et végeznek, azért a hátralevő

\frac{19}{20}

elvégzéséhez

\frac{19}{20} : \frac{23}{270} = 11 \frac{7}{46}

nap szükséges, tehát az egész munka.

\begin{matrix} 1 + 11 \frac{7}{46} = 12 \frac{7}{46} \end{matrix}

nap alatt készül el.
b) Változatlan.

Ortutay Miklós (Hajdunánás, Kőrösi Csoma g. I. o. t.)

III. megoldás: a) Ha (5)-ből rendre kivonjuk (4)-et, (3)-at, (2)-t és (1)-et, akkor nyerjük, hogy 1 nap alatt

\begin{matrix} \begin{matrix} A & teljesítménye & \frac{23}{270} - \frac{1}{20} = \frac{19}{540}, \\ B & ,, & \frac{23}{270} - \frac{1}{15} = \frac{16}{540}, \\ C & ,, & \frac{23}{270} - \frac{1}{18} = \frac{10}{540}, \\ D & ,, & \frac{23}{270} - \frac{1}{12} = \frac{1}{540} . \end{matrix} \end{matrix}

u

nap alatt, ha

A

egy teljes napig nem dolgozik, az együttes teljesítmény

\begin{matrix} (u - 1) \frac{19}{540} + u \frac{16}{540} + u \frac{10}{540} + u \frac{1}{540} = 1, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} 46 u = 540 + 19, vagyis u = \frac{559}{46} = 12 \frac{7}{46} nap . \end{matrix}

b

) Változatlan. A fenti eljárás természetesen itt nem alkalmazható, mert

C

hiányzása az utolsó munkanapon nem egy teljes nap.

Tatai Péter (Bp. XIV., I. István g. II. o. t.)

Megjegyzés: Itt, a III. megoldásban, látjuk, hogy

D

teljesítménye a másik háromhoz viszonyítva aránytalanul kevés, és így már érthető, hogy amíg

A

B

C

együtt 12 nap alatt végezné el a munkát, addig négyen együttvéve sem sokkal kevesebb idő

(11 \frac{17}{23} nap)

alatt készülnének el.