Kezdőlap


Feladat:	361. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Cetl Róbert
Füzet:	1957/február, 52. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/szeptember: 361. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Zárjuk ki előre azokat az értékeket, amelyek a nevezőket 0-vá teszik: $y \neq z$ , $2 y \neq 3 z$ , $3 a^{2} x \neq 2 a y$ , továbbá feltesszük, hogy $a \neq 0$ , $b \neq 1$ ; ekkor a nevezőkkel szorozva és rendezve

\begin{matrix} a (b - 1) x + (b + 1) y - 2 z = 0, & (1) \\ 2 a x - 2 y + 3 z = 3 b, & (2) \\ 3 a b x - 2 b y - 5 z = - 4 b . & (3) \end{matrix}

Küszöböljük ki az

y

és

x

ismeretleneket.
Vonjuk le (2)-nek a

b

-szeresét (3)-ból:

\begin{matrix} a b x - (3 b + 5) z = - b (3 b + 4) . \end{matrix}

(4)

Szorozzuk meg (1)-et 2-vel, és adjuk hozzá (3)-hoz:

\begin{matrix} (5 a b - 2 a) x + 2 y - 9 z = - 4 b . \end{matrix}

(5)

(5) és (2) összege

\begin{matrix} 5 a b x - 6 z = - b . \end{matrix}

(6)

A (4) egyenlet 5-szörösét vonjuk le (6)-ból:

\begin{matrix} (15 b + 19) z = (15 b + 19) b . \end{matrix}

(7)

Ha a

15 b + 19 = 0

, (vagyis

b = - \frac{19}{15}

, akkor

z

értéke tetszőleges lehet, és minden tetszőlegesen megválasztott

z

értékhez a fenti egyenletekből egy

x

y

értékpár kiszámítható.
Ha

15 b + 19 \neq 0

, akkor

\begin{matrix} (7) -ből z = b, (6) -ből x = \frac{1}{a}, (5) -ből y = 1. \end{matrix}

Az itt nyert gyökök nincsenek a kizárt értékek között (feltéve, hogy

3 b \neq 2

), tehát kielégítik az egyenletrendszert.

Cetl Róbert (Bp. II., Rákóczi g. I. o. t.)

Megjegyzés: Egy megoldó sem vette észre, hogy

15 b + 19 = 0

esetén az egyenletrendszer határozatlan.