Kezdőlap


Feladat:	360. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Cetl Róbert , Schwarz András
Füzet:	1957/február, 51. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Százalékszámítás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/szeptember: 360. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyen $x$ egy tetszőleges pozitív szám, akkor a feladat szerint

\begin{matrix} x + \frac{n x}{100} - \frac{c}{100} (x + \frac{n x}{100}) = x \end{matrix}

x

-et, mindkét oldalból kivonva, és

\frac{100}{x}

-szel szorozva

\begin{matrix} n - c (1 + \frac{n}{100}) = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} 100 n - 100 c - n c = 0. \end{matrix}

(1)

Ebből

\begin{matrix} n = \frac{100 c}{100 - c}, & (1a) \\ c = \frac{100 n}{100 + n} . & (1b) \end{matrix}

(1a) és (1b) hányadosa

\begin{matrix} \frac{n}{c} = \frac{c (100 + n)}{n (100 - c)} . \end{matrix}

Mindkét oldalt

\frac{n}{c}

-vel szorozva megkapjuk a feladat állítását.

c

értelmezésénél fogva kisebb 100-nál.

Schwarz András (Bp. VI., Kölcsey g. I. o. t.)

II. megoldás: Írjuk az (1) alatti egyenlőséget

\begin{matrix} 100 (n - c) = n c \end{matrix}

alakban, szorozzuk meg mindkét oldalt (

n + c

)-vel:

\begin{matrix} 100 n^{2} - 100 c^{2} = n^{2} c + n c^{2} . \end{matrix}

Rendezve

\begin{matrix} n^{2} (100 - c) = c^{2} (100 + n), \end{matrix}

ahonnan (

100 - c \neq 0

c \neq 100

)

\begin{matrix} \frac{n^{2}}{c^{2}} = \frac{100 + n}{100 - c} \end{matrix}

Cetl Róbert (Bp. II., Rákóczi g. I. o. t.)