Kezdőlap


Feladat:	358. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bacsik Ilona , Bartha L. , Beke G. , Békefi D. , Berendi J. , Börzsöny L. , Cetl R. , Csanak Gy. , Dániel G. , Endrődy T. , Erdélyi B. , Ferentzy Kinga , Gazda Á. , Gyene A. , Gyökér L. , Götzer Á. , Halpert Anna , Hornyánszky T. , Jalsovszky Gy. , Katona Gy. , Keselyák M. , Kis Papp L. , Kisvölcsey J. , Kolonits F. , Komlós J. , Komondy L. , Kovács J. , Lassányi Ferenc , Magos A. , Majtényi S. , Márki-Zay L. , Máté Zs. , Nagy Zsófia , Németh L. , Nemetz T. , Nikodém F. , Plichta Viola , Rácz J. , S. Nagy Erzsébet , Selymes A. , Svékus A. , Szatmári G. , Tamás Gy. , Tatai P. , Téry L. , Tihanyi A. , Tóth I. , Trón L. , Tusnády G. , Wolfer Mária
Füzet:	1957/január, 27. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/szeptember: 358. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Valamely 10-es számrendszerbeli szám általános alakja

\begin{matrix} a_{0} 10^{n} + a_{1} 10^{n - 1} + ... + a_{n - 2} 10^{2} + a_{n - 1} 10 + a_{n}, \end{matrix}

ami így is írható

\begin{matrix} a_{0} (10^{n} - 1) + a_{1} (10^{n - 1} - 1) + ... + a_{n - 2} (10^{2} - 1) + a_{n - 1} (10 - 1) + \\ + a_{0} + a_{1} + a_{2} + ... + a_{n - 1} + a_{n} . \end{matrix}

Mivel

10^{k} - 1

k

minden (nem negatív) egész értéke mellett osztható

10 - 1 = 9

-cel, azért, ha egy számot 9-cel osztunk, ugyanannyit kapunk maradékul, mint amikor a számjegyek összegét osztjuk 9-cel. Tehát, ha a szám

9 n + k (k = 0,1,2, ...,8)

alakú, akkor a jegyek sorrendjének megfordítása által nyert szám

9 n' + k

alakú, és így a két szám különbsége:

9 (n - n')

mindig osztható 9-cel. Ha egy 9-cel osztható számot tetszőleges számmal szorzunk, a szorzat is osztható 9-cel.

A

tehát úgy találja ki az áthúzott számjegyet, hogy meghatározza a

B

által bemondott számban a számjegyek összegét (

3 + 5 + 4 + 0 + 7 = 19

), és ezt a hozzá legközelebb álló 9-cel osztható számra egészíti ki (

19 + 8 = 27

). Ha a

B

által bemondott szám 9-cel osztható, akkor a kihúzott szám 9, mert kikötöttük, hogy 0-t nem lehet áthúzni.

Megjegyzés: A fenti megoldásból kitűnik, hogy elég, ha a kivont szám ugyanazokból, a számjegyekből áll, mint az eredeti szám, hogy a különbség 9-cel osztható legyen.

Lassányi Ferenc (Bp, VIII. Piarista g. II. o. t.)