Kezdőlap


Feladat:	356. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Detrekői Ákos
Füzet:	1957/január, 24 - 25. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/május: 356. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Rugalmas ütközéseket tekintve, az ütközés a golyó sebességét nem befolyásolja, csak a mozgás irányát változtatja az ismert tétel szerint: a beérkezés szöge egyenlő a visszaverődés szögével.
Az első visszaverődés pontját $T$ -vel jelölve

\begin{matrix} A T + T B = A T + T B' = A B', \end{matrix}

ahol

B'

B

pont tükörképe az első falra vonatkozólag (l. az ábrát, amely egyben a betűzést is mutatja).

A C B'

derékszögű háromszögből Pythagoras tétele szerint

\begin{matrix} A B'^{2} = B' C^{2} + A C^{2} = B' C^{2} + 7^{2} . \end{matrix}

B' C = B D

, és az

A D B

derékszögű háromszögből

\begin{matrix} B D^{2} = A B^{2} - A D^{2} = 9^{2} - 3^{2}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} A B'^{2} = 9^{2} - 3^{2} + 7^{2} = 121, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} A B' = A T + T B = 11 m . \end{matrix}

Tehát a teljes út

\begin{matrix} s = A T + T B + B A = 11 + 9 = 20 m . \end{matrix}

a) Számítsuk ki először a teljes út megtevéséhez szükséges

t

időt. Alkalmazva az

s = v_{0} t + \frac{a}{2} t^{2}

ismert képletet

\begin{matrix} 5 t - 0, 2 t^{2} = 20, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 0, 2 t^{2} - 5 t + 20 = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} t_{1} = 5 \end{matrix}

és

\begin{matrix} [t_{2} = 20.] \end{matrix}

t_{2} = 20

sec nem felel meg a feladatnak, mert a

v_{t} = v_{0} + a t

képlet alapján

v_{20} = v_{0} + 20 a = 5 - 20 \cdot 0, 4 < 0

, vagyis 20 sec múlva a sebesség már negatív.
Tehát a golyó 5 sec után érkezik vissza

A

-ba, és ekkor a sebessége

\begin{matrix} v_{5} = 5 - 5 \cdot 0, 4 = 5 - 2 = 3 {m sec}^{- 1} . \end{matrix}

b) Jelöljük a keresett kezdősebességet

v'_{0}

-vel, az

A

-ban való megállásig eltelt időt

t'

-vel, akkor

\begin{matrix} v'_{0} + a t' = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} v'_{0} = - a t = 0, 4 t' . \end{matrix}

(1)

t'

időt az

\begin{matrix} s = v'_{0} t' + \frac{a}{2} t'^{2} \end{matrix}

képlettel számítjuk ki. Eszerint

v'_{0}

értékét (1)-ből behelyettesítve

\begin{matrix} 0, 4 t'^{2} - 0, 2 t'^{2} = 20, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} t' = \sqrt[]{\frac{20}{0, 2}} = 10 sec, \end{matrix}

és így (1)-ből

\begin{matrix} v'_{0} = 0, 4 \cdot 10 = 4 {m sec}^{- 1} . \end{matrix}

Detrekői Ákos (Szolnok, Verseghy g. II. o. t.)

Megjegyzés: Számos megoldó tévesen úgy okoskodott, ha

5 {m sec}^{- 1}

kezdősebesség esetén a golyó

3 {m sec}^{- 1}

sebességgel tér vissza, akkor

5 - 3 = 2 {m sec}^{- 1}

kezdősebesség esetén

3 - 3 = 0

m sec sebességgel fog visszaérkezni.