Kezdőlap


Feladat:	351. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Meskó Attila , Pachert Zsuzsa
Füzet:	1957/január, 19 - 21. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/május: 351. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyenek az egyes autók sebességei rendre $x$ , $y$ , $z$ , $u$ km/óra.
A feladat szerint

\begin{matrix} x^{2} = (y + z) u, & (1) \\ \frac{y + z}{4} = u, & (2) \\ \frac{x}{u} = \frac{y}{z} . & (3) \\ x + y + z + u = 210. & (4) \end{matrix}

(2)-ből (

y + z

) értékét (1)-be helyettesítve

\begin{matrix} x^{2} = 4 u^{2}, vagyis (5) x = 2 u . \end{matrix}

(5) és (3)-ból következik, hogy

\begin{matrix} y = 2 z . \end{matrix}

(6)

(5) és (6) figyelembevételével (4) így alakul

\begin{matrix} 3 u + 3 z = 210. \end{matrix}

(7)

Másrészt (1)-ből (6) és (5) felhasználásával

y + z = \frac{x^{2}}{u}

, vagyis

\begin{matrix} 3 z = 4 u . \end{matrix}

(8)

(8)-at (7)-be helyettesítve

\begin{matrix} 7 u = 210, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} u = \frac{210}{7} = 30 km/óra . \\ z = \frac{4}{3} u = 40 km/óra . \\ y = 2 z = 80 km/óra . \\ x = 2 u = 60 km/óra . \end{matrix}

Tehát az autók menetideje rendre

\begin{matrix} \frac{210}{60} = \frac{7}{2} óra, \frac{210}{80} = \frac{21}{8} óra, \frac{210}{40} = \frac{21}{4} óra, \frac{210}{30} = 7 óra . \end{matrix}

és így a

B

-be való érkezésük időpontja rendre: 15 óra 30 perc; 14 óra

37, 5

perc; 17 óra 15 perc és 19 óra.

Pachert Zsuzsa (Tata, Eötvös J. g. II. o. t.)

II. megoldás: (2)-ből

u

értékét (1)-be helyettesítve, nyerjük, hogy

\begin{matrix} x = \frac{y + z}{2}, \end{matrix}

és így (2) és (3) figyelembevételével

\frac{x}{u} = 2 = \frac{y}{z}

.
Ebből

\begin{matrix} y = 2 z, és így x = \frac{3 z}{2}, u = \frac{x}{2} = \frac{3 z}{4} . \end{matrix}

Ezen értékeket (4)-be helyettesítve

\frac{3 z}{2} + 2 z + z + \frac{3 z}{4} = 210

, ahonnan

z = 40

km/óra stb. hasonlóan mint az I. megoldásban.

Meskó Attila (Bp. VII., Madách g. II. o. t.)