Kezdőlap


Feladat:	350. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Náray Miklós
Füzet:	1957/január, 18 - 19. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/május: 350. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

(3) miatt fel kell tennünk, hogy $a \neq 0$ , $c \neq 0$ . Ekkor (1) folytán $x \neq y$ .
(2)-t elosztva (1)-gyel, nyerjük, hogy

\begin{matrix} x + y = \frac{b}{a} . \end{matrix}

(4)

(3) baloldala így alakítható (2) és (4) felhasználásával:

\begin{matrix} \frac{x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y^{3}}{{(x + z)}^{2}} = \frac{(x^{2} - y^{2}) (x + y)}{{(x + z)}^{2}} = \frac{b \cdot \frac{b}{a}}{x + z} = \frac{b^{2}}{a (x + z)} . \end{matrix}

(5)

b = 0

, akkor a (3) egyenlet semmitmondó, (4)-ből

y = - x

, és (1)-ből

2 x = a (x + z)

, azaz

z = \frac{2 - a}{a} x

.
Ha

b \neq 0

, akkor (3)-ból és (5)-ből

\begin{matrix} \frac{1}{x + z} = \frac{1}{a c}, vagyis x + z = a c \end{matrix}

(6)

adódik.
(

x + z

) ezen értékét (1)-be helyettesítve

\begin{matrix} x - y = a (x + z) = a^{2} c . \end{matrix}

(

1'

)

(

1'

) és (4)-ből

\begin{matrix} x = \frac{a^{3} c + b}{2 a}, y = \frac{b - a^{3} c}{2 a} \end{matrix}

és így (6)-ból

\begin{matrix} z = a c - x = a c - \frac{a^{3} c + b}{2 a} = \frac{2 a^{2} c - a^{3} c - b}{2 a} . \end{matrix}

Náray Miklós (Bp. VIII., Széchenyi g. I. o. t.)