Kezdőlap


Feladat:	349. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pődör Bálint
Füzet:	1957/január, 17 - 18. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/május: 349. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

(1) $a$ -szorosát vonjuk ki (2)-ből, majd (2) $a$ -szorosát (3)-ból, nyerjük, hogy

\begin{matrix} (b - a) y + (c - a) z = d - a, & (4) \\ b (b - a) y + c (c - a) z = d (d - a) . & (5) \end{matrix}

(4)-nek a

c

-szeresét, illetve

b

-szeresét levonva (5)-ből, nyerjük, hogy

\begin{matrix} (b - c) (b - a) y = (d - c) (d - a), ill. (c - b) (c - a) z = (d - b) (d - a), \end{matrix}

ahonnan, ha

a

b

c

különböző számok,

\begin{matrix} y = \frac{(d - a) (d - c)}{(b - a) (b - c)}, z = \frac{(d - a) (d - b)}{(c - a) (c - b)} . \end{matrix}

(1)-ből (vagy

a

b

c

és egyidejűleg

x

y

z

ciklikus felcserélésével)

\begin{matrix} x = \frac{(d - b) (d - c)}{(a - b) (a - c)} . \end{matrix}

Tehát mindig van egy és csakis egy megoldás, amíg az

a

b

c

együtthatók között nincs két egyenlő.
Ha legalább két együttható egyenlő, pl.

a = b

, akkor kimutatjuk, hogy csak akkor van megoldás, ha

d = c

, vagy

d = a = b

, és a megoldások száma ez esetben végtelen sok.
Ugyanis bevezetve az

x + y = u

új ismeretlent, egyenletrendszerünk így alakul:

\begin{matrix} u + z = 1, & (1') \\ a u + c z = d, & (2') \\ a^{2} u + c^{2} z = d^{2}, & (3') \end{matrix}

(

1'

)

a

-szorosát vonjuk ki (2)-ből, és (

2'

)

a

-szorosát (3)-ból:

\begin{matrix} (c - a) z = d - a, illetőleg & (4') \\ c (c - a) z = d (d - a) . & (5') \end{matrix}

(

4'

)

c

-szeresét levonva (

5'

)-ből

\begin{matrix} (d - c) (d - a) = 0, \end{matrix}

tehát megoldás csak akkor létezik, ha

d = c

, vagy

d = a

.
Ebben az esetben is csak

z

-t és

u = x + y

-t határozza meg az egyenletrendszer (nem feltétlenül egyértelműen), tehát

x

mindig tetszőlegesen választható. Pontosabban, ha

c \neq a

, akkor a nyert két lehetőség szerint

\begin{matrix} z = 1, u = x + y = 0, illetőleg z = 0, u = x + y = 1, \end{matrix}

ha pedig

a = b = c

, akkor

d

is ezzel a közös értékkel egyenlő.
Ez esetben csak az

\begin{matrix} x + y + z = 1 \end{matrix}

határozatlan egyenlet marad.

Pödör Bálint (Bp. II., Rákóczi g. II. o. t.)