Kezdőlap


Feladat:	347. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Holik Katalin , Pődör Bálint
Füzet:	1956/december, 155 - 156. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/április: 347. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás: Az egységszakaszt tetszőlegesen megválasztva, az $1$ és $a$ szakaszból megszerkesztjük az $a^{2}$ szakaszt, felhasználva a derékszögű háromszög magasságára vonatkozó tételt (1. ábra), amely szerint $a$ mértani középarányos $1$ és $a^{2}$ között.

1. ábra

Ugyanígy megszerkesztjük a

b^{2}

szakaszt. A nyert

a^{2}

és

b^{2}

szakaszokból, mint befogókból, derékszögű háromszöget szerkesztve, a nyert átfogó

\sqrt[]{{(a^{2})}^{2} + {(b^{2})}^{2}} = \sqrt[]{a^{4} + b^{4}} = c^{2}

(1. ábra). A keresett

c

szakaszt

1

és

c^{2}

mértani középarányosaként (2. ábra) kapjuk meg.

2. ábra

Megjegyzés: A megszerkesztett

a^{2}

b^{2}

, és

c^{2}

szakaszok az egységszakasz megválasztásától függnek, de már a végeredmény

c

ettől független.

Pödör Bálint (Bp. II., Rákóczi g. II. o. t.)

II. megoldás: A

c

kifejezés átalakításával feladatunkat az egységszakasz megválasztása nélkül is megoldhatjuk.
Jelöljük az

a

és

b

befogójú derékszögű háromszög átfogóját

t

-vel, az átfogóhoz tartozó magasságot

m

-mel (3. ábra), akkor

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} = t^{2} és a \cdot b = t \cdot m, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} c^{4} = a^{4} + b^{4} = {(a^{2} + b^{2})}^{2} - 2 a^{2} b^{2} = t^{4} - 2 t^{2} m^{2} = t^{2} (t^{2} - 2 m^{2}) = t^{2} q^{2}, \end{matrix}

(1)

ahol

\begin{matrix} q = \sqrt[]{t^{2} - {(m \sqrt[]{2})}^{2}} . \end{matrix}

(2)

3. ábra

A szerkesztés menete: Az

m \sqrt[]{2}

szakaszt

m

befogójú egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogójaként kapjuk. (2) szerint derékszögű háromszöget szerkesztve az

m \sqrt[]{2}

befogóból és a

t

átfogóból nyerjük a másik befogót:

q

-t. (1)-ből

\begin{matrix} c = \sqrt[^{4}]{t^{2} q^{2}} = \sqrt[]{t q}, \end{matrix}

vagyis

c

-t

t

és

q

mértani középarányosaként nyerjük (3. ábra).

Holik Katalin (Balassagyarmat, Balassa g. II. o. t.)