Feladat: 346. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bagyinszki J. ,  Danassy K. ,  Dániel Gábor ,  Endrődy T. ,  Gyarmathi a. ,  Győry K. ,  Halmágyi Á. ,  Kaiser Gy. ,  Kalmár Ágota ,  Kesselyák M. ,  Kristóf L. ,  Kultsár B. ,  Németh J. ,  Simon L. ,  Szalay Zs. ,  Várallyay L. ,  Zára D. 
Füzet: 1956/december, 154. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Eltolás, Derékszögű háromszögek geometriája, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1956/április: 346. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Képzeljük a feladatot megoldottnak és toljuk el az ABC háromszöget p irányban önmagával párhuzamosan, úgy, hogy átfogója a q egyenesre essék. Jelöljük az eltolt háromszöget A'B'C'-vel. Ekkor A' a p és q metszéspontja, B' illeszkedik q-ra, és A'-től c távolságra van. A harmadik csúcs, C' egyrészt rajta van az A'B' fölé rajzolt Thales körön, másrészt rajta van a C ponton átmenő p-vel párhuzamos egyenesen, mert a C pont a párhuzamos eltolásnál ezen az egyenesen mozog (lásd az ábrát).

 

 

Az A'B'C' háromszög megszerkesztése után a háromszöget p irányban önmagával párhuzamosan visszatoljuk, míg a C' pont rákerül C-re.
A megoldások száma 4, 3, 2, 1 vagy 0 lehet. Az A' ponttól kezdve a c szakasz q-ra két irányba mérhető fel, így két B' pont és két Thales kör rajzolható. A C-re illeszkedő p-vel párhuzamos egyenes metszheti mindkettőt 2‐2 különböző pontban; az egyiket 2 pontban metszve, a másikat érintheti; esetleg csak az egyiket metszi 2 pontban; csak az egyiket érinti; egyiket sem metszi.
 

Dániel Gábor (Bp. VIII., Piarista g. I. o. t.)
 

II. megoldás: A szerkesztést egyszerűsíthetjük, ha közvetlenül a keresett derékszögű háromszög köré írt kör középpontját, azaz az átfogó F felezőpontját szerkesztjük meg. Ez az F pont nyilván C-től c2 távolságra van, továbbá rajta van a p és q egyenes metszéspontjától c2 távolságra a q-n fekvő O1, ill. O2 pontokon átmenő p-vel, párhuzamos egyeneseken. Ez utóbbi két egyenes metszi ki a C köré c2 sugárral rajzolt körből a keresett (4, 3, 2, 1, 0) F pontot (lásd az ábrát). Az F pont birtokában a háromszög megszerkesztése már kézenfekvő.
 

Kalmár Ágota (Szeged, Ságvári g. II. o. t.)