Kezdőlap


Feladat:	345. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Sárközy András , Simon László
Füzet:	1956/december, 153. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/április: 345. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás: A 656. feladatban (1955. októberi szám, 57. old.) megállapított szükséges és elégséges feltétel, hogy egy negyedfokú egyenlet másodfokúra redukálható legyen, jelen esetben teljesül. Ugyanis

\begin{matrix} a = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}, b = 0, c = - \frac{1}{27}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} a^{3} - 4 a b + 8 c = \frac{8}{27} - \frac{8}{27} = 0. \end{matrix}

Az ott megadott

x = z - \frac{a}{4} = z - \frac{1}{6}

transzformációval kapjuk a

\begin{matrix} {(z - \frac{1}{6})}^{4} + \frac{2}{3} {(z - \frac{1}{6})}^{3} - \frac{1}{27} (z - \frac{1}{6}) + 1 = z^{4} - \frac{1}{6} z^{2} + \frac{1301}{1296} = 0 \end{matrix}

egyenletet.
Ennek a

z^{2}

-ben másodfokú egyenletnek diszkriminánsa negatív, és így valós gyökei nem lehetnek az egyenletnek.

Simon László (Bp., XI., József A. g. II. o. t.)

II. megoldás: Vegyük észre, hogy egyenletünket 12-vel szorozva és a baloldalhoz

36 x^{2}

-et hozzáadva és le is vonva, a baloldal teljes négyzetté egészíthető ki:

\begin{matrix} 324 x^{4} + 216 x^{3} + 36 x^{2} - 36 x^{2} - 12 x + 1 = - 11, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} {(18 x^{2} + 6 x - 1)}^{2} = - 11. \end{matrix}

A baloldal valós

x

esetén nem lehet negatív, míg a jobboldal negatív, tehát egyenletünket valós gyök nem elégítheti ki.

Sárközy András (Gyöngyös, Vak Bottyán g. II. o. t.)