Feladat: 345. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Sárközy András ,  Simon László 
Füzet: 1956/december, 153. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1956/április: 345. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás: A 656. feladatban (1955. októberi szám, 57. old.) megállapított szükséges és elégséges feltétel, hogy egy negyedfokú egyenlet másodfokúra redukálható legyen, jelen esetben teljesül. Ugyanis

a=1827=23,b=0,c=-127,
és így
a3-4ab+8c=827-827=0.

Az ott megadott x=z-a4=z-16 transzformációval kapjuk a
(z-16)4+23(z-16)3-127(z-16)+1=z4-16z2+13011296=0
egyenletet.
Ennek a z2-ben másodfokú egyenletnek diszkriminánsa negatív, és így valós gyökei nem lehetnek az egyenletnek.
 

Simon László (Bp., XI., József A. g. II. o. t.)
 

II. megoldás: Vegyük észre, hogy egyenletünket 12-vel szorozva és a baloldalhoz 36x2-et hozzáadva és le is vonva, a baloldal teljes négyzetté egészíthető ki:
324x4+216x3+36x2-36x2-12x+1=-11,
azaz
(18x2+6x-1)2=-11.
A baloldal valós x esetén nem lehet negatív, míg a jobboldal negatív, tehát egyenletünket valós gyök nem elégítheti ki.
 

Sárközy András (Gyöngyös, Vak Bottyán g. II. o. t.)