Kezdőlap


Feladat:	343. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Várallyai László
Füzet:	1956/december, 151 - 152. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/április: 343. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Átlagsebességen értjük azt a sebességet, amellyel egyenletesen haladva ugyanannyi idő alatt teszünk meg egy bizonyos utat, mint változó sebességgel.
Legyen Budapest és Debrecen távolsága $s$ km, az oda- és visszautazás ideje $t$ óra, akkor a feladat szerint

\begin{matrix} t = \frac{s}{56} + \frac{s}{72} . \end{matrix}

c

egyenletes sebességgel az oda és vissza út

\begin{matrix} \frac{2 s}{c} = t' \end{matrix}

óráig tart.
Definíciónk szerint

c

akkor átlagsebesség, ha

t' = t

, vagyis

\begin{matrix} \frac{2 s}{c} = \frac{s}{56} + \frac{s}{72}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} c = \frac{2}{\frac{1}{56} + \frac{1}{72}} = \frac{1008}{9 + 7} = 63 km/óra. \end{matrix}

b) Átlagteljesítményen értjük egy munkás teljesítményét, aki ugyanazt a munkát végzi el, mint több munkás együttvéve, ugyanennyi idő alatt, mint a több munkás összideje, feltéve, hogy utóbbi munkások mindegyike egyenlő munkát végez.
Ha azt a bizonyos egyenlő munkát

m

-mel jelöljük (jelen feladatban darabszám), akkor az egyes munkások munkaideje

\begin{matrix} \frac{m}{10}, \frac{m}{14}, \frac{m}{12} óra. \end{matrix}

Legyen a keresett átlagteljesítmény

x

darab óránként, akkor a fenti definíció szerint

\begin{matrix} \frac{3 m}{x} = \frac{m}{10} + \frac{m}{14} + \frac{m}{12}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} x = \frac{3}{\frac{1}{10} + \frac{1}{14} + \frac{1}{12}} = \frac{3 \cdot 420}{42 + 30 + 35} = \frac{1260}{107} = 11 \frac{83}{107} \sim 11, 87 munkadarab/óra. \end{matrix}

Várallyai László (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. g. II. o. t.)

Megjegyzés: Számosan helytelenül a számtani középpel

(\frac{56 + 72}{2} = 64

km/óra, ill.

\frac{10 + 14 + 12}{3} = 12 munkadarab/óra)

vélték a feladatot megoldani, pedig ‐ mint fent láttuk ‐ a harmonikus közép (lásd Dux Erik ,,Súlyozott számtani közepekről'' c. cikkét az 1956. áprilisi számban a 99‐100. oldalon) alkalmazása volt helyénvaló.