Kezdőlap


Feladat:	340. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pásztor Erzsébet
Füzet:	1956/december, 150 - 151. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ceva-tétel, Középvonal, Magasságvonal, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/március: 340. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha sikerülne bebizonyítani, hogy

\begin{matrix} (F_{1} F_{2} M_{c}) (F_{2} F_{3} M_{a}) (F_{3} F_{1} M_{b}) = 1, \end{matrix}

(1)

akkor a Ceva-tétel megfordítása értelmében állításunk helyes.

Mivel a

B C_{1}

és

C_{1} A

szakaszok a velük párhuzamos

F_{1} M_{c}

és

M_{c} F_{2}

szakaszok perspektív vetületei a

C

pontból (lásd az ábrát), azért

\begin{matrix} (F_{1} F_{2} M_{c}) (B A C_{1}), \end{matrix}

(2)

és hasonlóképpen

\begin{matrix} (F_{2} F_{3} M_{a}) = (C B A_{1}), & (3) \\ (F_{3} F_{1} M_{b}) = (A C B_{1}) . & (4) \end{matrix}

De a három magasságvonalról ismeretes, hogy egy pontban metszik egymást, tehát a Ceva-tétel alapján (2), (3) és (4) jobboldalainak szorzata 1, és így a baloldalak szorzata is 1, vagyis (1) fennáll.

Pásztor Erzsébet (Makó, József A. g. II. o. t.)

Megjegyzés: Állításunk egy a Ceva-tételtől független bizonyítását tartalmazza az 1955. évi országos tanulmányi verseny döntőjében szerepelt 3. feladat b) része (lásd az 1955. évi szeptemberi számban a 11. oldalt).