Kezdőlap


Feladat:	338. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ágfalvi Mihály , Győry Kálmán
Füzet:	1956/november, 121 - 122. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Középpontos tükrözés, Magasságpont, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/március: 338. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Ha $u$ , $v$ , $w$ -vel jelöljük az $M$ magassági pont távolságát a háromszög $A$ , $B$ , $C$ csúcsától, $m_{a}$ , $m_{b}$ , $m_{c}$ -vel a magasság vonala hosszát, $x$ , $y$ , $z$ -vel a talpponti háromszögnek $A$ , $B$ , $C$ -vel szemközti oldalait, akkor Berkes Jenő: ,,A talpponti háromszögről'' c. cikke (lásd 1956. márciusi számban) alapján

\begin{matrix} x : y : z = \frac{u}{m_{a}} : \frac{v}{m_{b}} : \frac{w}{m_{c}}, & (1) \\ \frac{u}{m_{a}} + \frac{v}{m_{b}} + \frac{w}{m_{c}} = 2. & (2) \end{matrix}

Jelen esetben

\frac{u}{m_{a}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

\frac{v}{m_{b}} = \frac{1}{2}

és így (2)-ből

\begin{matrix} \frac{w}{m_{c}} = 2 - \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} . \end{matrix}

(1) alapján

\begin{matrix} x : y : z = \frac{2}{3} : \frac{1}{2} : \frac{5}{6} = 4 : 3 : 5. \end{matrix}

Megszerkesztve tetszőleges egységgel a 3, 4, 5 oldalú háromszöget (amely jelen esetben Pythagoras tételének megfordítása alapján derékszögű), ennek szögfelezőire a csúcsokban szerkesztett merőlegesek lesznek a keresett háromszöghöz hasonló

A' B' C' ▵

oldalai. Ezt a háromszöget azután a kívánt nagyságra változtatjuk.

Győry Kálmán (Ózd, József A. g. II. o. t.)

II. megoldás: A feladat az idézett cikktől függetlenül is megoldható.
Induljunk ki az

A A_{1}

magasságból. Ezen a szakaszon meg van adva az

M

pont.

A_{1}

-n át

A A_{1}

-re merőlegesen meghúzva az

a

egyenest, megkapjuk a

B C

oldal hordozóját.

A M

szakasz, mint átmérő, fölé rajzolt Thales-körön lesz rajta a

B

-ből kiinduló magasság

B_{1}

talppontja, másrészt a

B M = M B_{1}

miatt a

B_{1}

pont rajta lesz az

a

egyenesnek

M

-re vonatkozó

a'

tükörképén. A Thales-kör és

a'

metszéspontja szolgáltatja a

B_{1}

pontot. A további szerkesztés már kézenfekvő.

Megjegyzés: Speciálisan jelen adatok mellett nincs szükség a Thales-körre és a

B_{1}

pontra, mert

a'

itt átmegy a Thales-kör középpontján, és így

A_{1} B

egyenlő a Thales-kör sugarával, amely jelen esetben egyelő

A_{1} M

-mel.

Ágfalvi Mihály (Székesfehérvár, József A. g. I. o. t.)