Kezdőlap


Feladat:	336. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Trón Lajos
Füzet:	1956/november, 120. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/március: 336. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) A keresett egyenlet gyöktényezős alakja, az ismeretlent $y$ -nal jelölve

\begin{matrix} (y - \frac{1}{x_{1}^{3}}) (y - \frac{1}{x_{2}^{3}}) = 0. \end{matrix}

y

hatványai szerint rendezve

\begin{matrix} y^{2} - \frac{x_{1}^{3} + x_{2}^{3}}{x_{1}^{3} x_{2}^{3}} y + \frac{1}{x_{1}^{3} x_{2}^{3}} = 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} y^{2} - \frac{{(x_{1} + x_{2})}^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2})}{{(x_{1} x_{2})}^{3}} y + \frac{1}{{(x_{1} x_{2})}^{3}} = 0. \end{matrix}

(1)

Ismeretes, hogy

\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} . \end{matrix}

(2)

Ezen értékeket (1)-be helyettesítve megkapjuk a keresett egyenletet:

\begin{matrix} c^{3} y^{2} + (b^{3} - 3 a b c) y + a^{3} = 0. \end{matrix}

b) Felhasználhatjuk közvetlenül a keresett

\begin{matrix} A y^{2} + B y + C = 0 \end{matrix}

egyenletre a gyökök és együtthatók között fennálló összefüggéseket:

\begin{matrix} \frac{B}{A} = - (y_{1} + y_{2}) & = - [{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(x_{1} + x_{2})}^{2}] = - 2 (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) = - 2 {(x_{1} + x_{2})}^{2} + 4 x_{1} x_{2} \\ \frac{C}{A} = y_{1} y_{2} & = [{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2}] {(x_{1} + x_{2})}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{4} - 4 x_{1} x_{2} {(x_{1} + x_{2})}^{2} . \end{matrix}

Behelyettesítve a (2) alatti értékeket, a keresett egyenlet

\begin{matrix} y^{2} + (\frac{4 c}{a} - \frac{2 b^{2}}{a^{2}}) y + \frac{b^{4}}{a^{4}} - \frac{4 c}{a} \cdot \frac{b^{2}}{a^{2}} = 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} a^{4} y^{2} + 2 a^{2} (2 a c - b^{2}) y + b^{2} (b^{2} - 4 a c) = 0. \end{matrix}

(Figyeljük meg: ha az eredeti egyenlet diszkriminánsa

b^{2} - 4 a c = 0

, akkor

x_{1} - x_{2} = 0

, vagyis

y_{1}

is nullával egyenlő, azaz a keresett egyenlet általános tagja

0

, ami tényleg igaz.)

Trón Lajos (Debrecen, Fazekas g. I. o. t.)