Kezdőlap


Feladat:	335. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Komlósi Ferenc
Füzet:	1956/november, 118 - 119. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/március: 335. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Feltéve, hogy $x \neq 1, 2, 3, 4, 5$ , szorozhatjuk mindkét oldalt az öt nevező szorzatával. $x$ hatványai szerint rendezve:

\begin{matrix} (a + b - 3) x^{4} + (- 14 a - 10 b + 34) x^{3} + (71 a + 35 b - 135) x^{2} + & (2) \\ + (- 154 a - 50 b + 224) x + (120 a + 24 b - 120) = \\ = A x^{4} + B x^{3} + C x^{2} + D x + E = 0. \end{matrix}

Ez az egyenlet közvetlenül másodfokúvá, vagy másodfokúra visszavezethetővé válik a következő esetekben:

\begin{matrix} α) & A = B = 0, \\ β) & D = E = 0, \\ γ) & B = D = 0, \\ δ) & A = E = 0. \end{matrix}

Tekintsük sorra ezeket az eseteket.

\begin{matrix} α) & a + b - 3 = 0, \\ 7 a + 5 b - 17 = 0. \end{matrix}

Innen

a = 1

b = 2

, mely értékeket (2)-be helyettesítve az

\begin{matrix} x^{2} - 5 x + 8 = 0 \end{matrix}

egyenlethez jutunk. Ennek nincs valós gyöke, mert diszkriminánsa

25 - 32 < 0

\begin{matrix} β) & 77 a + 25 b - 112 = 0, \\ 5 a + b - 5 = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} a = \frac{13}{48}, b = \frac{178}{48} . \end{matrix}

Ezen értékeket (2)-be helyettesítve:

\begin{matrix} 11 x^{4} - 75 x^{3} + 142 x^{2} = x^{2} (11 x^{2} + 75 x + 142) = 0. \end{matrix}

Innen

x_{1,2} = 0

x_{3}

, és

x_{4}

nem valós, mert

75^{2} - 44 \cdot 142 < 0

\begin{matrix} γ) & 7 a + 5 b - 17 = 0, \\ 77 a + 25 b - 112 = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} a = \frac{9}{14}, b = \frac{5}{2}, \end{matrix}

és így az

\begin{matrix} x^{4} - 13 x^{2} + 120 = 0 \end{matrix}

egyenlethez jutunk, melynek nincs valós gyöke, mert

169 - 480 < 0

\begin{matrix} δ) & a + b - 3 = 0, \\ 5 a + b - 5 = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} a = \frac{1}{2}, b = \frac{5}{2}, \end{matrix}

ami az

\begin{matrix} x^{3} - 6 x^{2} + 11 x = x (x^{2} - 6 x + 11) = 0 \end{matrix}

egyenletre vezet. Ebből

x_{1} = 0

x_{2}

és

x_{3}

nem valósak, mert a diszkrimináns negatív.

ε)

a = b = 0

, akkor (2) a következő alakot veszi fel (

- 1

-gyel való szorzás után):

\begin{matrix} 3 x^{4} - 34 x^{3} + 135 x^{2} - 224 x + 120 = (x - 1) (x - 5) (3 x^{2} - 16 x + 24) = 0. \end{matrix}

x_{1} = 1

x_{2} = 5

gyököket eleve kizártuk. Maradnak tehát a

\begin{matrix} 3 x^{2} - 16 x + 24 = 0 \end{matrix}

egyenlet gyökei, de ezek sem

(256 - 288 < 0)

valósak.
Ezek a gyökök megegyeznek azokkal, amelyeket akkor kapunk, ha (1)-ben

x \neq 1, 2, 3, 4, 5

feltétel mellett az

a

és

b

paramétereket

0

-nak vesszük. Ugyanis akkor

\begin{matrix} - \frac{2}{2 - x} + \frac{3}{3 - x} - \frac{4}{4 - x} = 0. \end{matrix}

ami a törtek eltávolítása után:

\begin{matrix} 3 x^{2} - 16 x + 24 = 0. \end{matrix}

Tehát az

a = b = 0

esetén is másodfokú egyenletre jutunk.
Természetesen

a

és

b

még más értékei esetén is lehet egyenletünket másodfokúra visszavezetni, de már csak bonyolultabb átalakításokkal.

Komlósi Ferenc (Makó, József A. g. II. o. t.)