Kezdőlap


Feladat:	334. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Győry Kálmán , Kolonits Ferenc
Füzet:	1956/november, 116 - 118. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/március: 334. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Tegyük fel, hogy a szétosztás megkezdése előtt $x$ dió volt a kosárban.
A feladat szerint:
Tamás kap $1 + \frac{x - 1}{4} = \frac{x + 3}{4}$ diót, visszamarad $\frac{3 x - 3}{4}$ .
Erzsi kap $1 + \frac{1}{4} (\frac{3 x - 3}{4} - 1) = \frac{16}{16} + \frac{3 x - 7}{16} = \frac{3 x + 9}{16} = \frac{3}{4} \cdot \frac{x + 3}{4}$ diót,

\begin{matrix} visszamarad x - \frac{7}{4} \cdot \frac{x + 3}{4} = \frac{9 x - 21}{16} . \end{matrix}

Béla kap

1 + \frac{1}{4} (\frac{9 x - 21}{16} - 1) = \frac{9 x + 27}{64} = {(\frac{3}{4})}^{2} \frac{x + 3}{4}

\begin{matrix} visszamarad x - \frac{37}{6} \cdot \frac{x + 3}{4} = \frac{27 x - 111}{64} . \end{matrix}

Juliska kap

1 + \frac{1}{4} (\frac{27 x - 111}{64} - 1) = \frac{27 x + 81}{256} = {(\frac{3}{4})}^{3} \frac{x + 3}{4}

.
Legyen

\frac{x + 3}{4} = z

, akkor a feladat szerint

\begin{matrix} z + \frac{9 z}{16} = \frac{3 z}{4} + \frac{27 z}{64} + 100, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} z = \frac{x + 3}{4} = 256, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} x = 1021. \end{matrix}

A kiosztott diók egy négytagú mértani sort alkotnak, melynek első tagja

z = 256

, és hányadosa

\frac{3}{4}

, tehát összegük

\begin{matrix} s_{4} = 256 \frac{1 - \frac{81}{256}}{1 - \frac{3}{4}} = 256 \cdot 4 \cdot \frac{175}{256} = 700, \end{matrix}

és így a kosárban maradt

\begin{matrix} 1021 - 700 = 321 dió. \end{matrix}

Kolonits Ferenc (Bp., VIII., Piarista g. I. o. t.)

II. megoldás: Ha Tamás

(1 + a)

diót kapott, akkor megmaradt

3 a

dió, Erzsi kapott ebből

1 + \frac{3 a - 1}{4} = \frac{3}{4} (a + 1)

. Ugyanilyen elgondolással kapjuk, hogy Béla az Erzsi dióinak, Juliska a Béla dióinak kapta a háromnegyed részét. Így Erzsi a Tamás dióinak

\frac{3}{4}

részét, Béla

\frac{9}{16}

részét, Juliska

\frac{27}{64}

részét kapta.
Mivel

\begin{matrix} (1 + \frac{9}{16}) - (\frac{3}{4} + \frac{27}{64}) = \frac{25}{64}, \end{matrix}

azért a fiúk Tamás dióinak

\frac{25}{64}

részével kaptak többet, mint a lányok, ez pedig a feladat szerint

100

dió. Tehát Tamás

100 : \frac{25}{64} = 256

diót kapott. De Tamás

1 + a

diót kapott, és így eredetileg

4 a + 1 = 4 \cdot 255 + 1 = 1021

dió volt.
Juliska kapott

{(\frac{3}{4})}^{3} 256 = \frac{27}{81} \cdot 256 = 108

diót, és visszamaradt a kosárban

3 (108 - 1) = 321

dió.

Győry Kálmán (Ózd, József A. g. II. o. t.)