Kezdőlap


Feladat:	332. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ágh A. , Bencsik P. , Bóné I. , Danassy K. , Dániel G. , Endrődy T. , Gaál T. , Gáti Z. , Goldpervger I. , Győry K. , Hank Zs. , Holik Katalin , Joó I. , Kanyó Z. , Kovács B. , Kristóf László , Krokovay Gizella , Máté L. , Molnár K. , Németh J. , Pakuts J. , Sárközy A. , Simon L. , Tóth Zsuzsanna , Újváry-Menyhárt Zoltán , Vannay A. , Várallyay L.
Füzet:	1956/november, 114 - 115. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Magasságpont, Körülírt kör középpontja, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/február: 332. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Az $A M$ , $B M$ és $C M$ szakaszok felezőpontjai legyenek rendre $D$ , $E$ , $F$ (lásd az ábrát).

Az e pontokban az

A B C ▵

magasságvonalaira emelt merőlegesek alkotják az

A_{1} B_{1} C_{1} ▵

-et. Tehát

\begin{matrix} A_{1} B_{1} ∥ A B, B_{1} C_{1} ∥ B C és C_{1} A_{1} ∥ C A, \end{matrix}

(1)

és így

\begin{matrix} A_{1} B_{1} C_{1} ▵ \sim A B C ▵ . \end{matrix}

(2)

D E F ▵

oldalait az

A B M

B C M

C A M

háromszögek középvonalai, és így félakkorák, mint az

A B C ▵

oldalai.
Másrészt (1) alapján

D E A_{1} F_{1}

valamint

D E F B_{1}

négyszögek paralelogrammák, és így

A_{1} F = E D = F B_{1}

, vagyis

\begin{matrix} A_{1} B_{1} = 2 E D = A B . \end{matrix}

Tehát (2) figyelembevételével

\begin{matrix} A_{1} B_{1} C_{1} ▵ ≅ A B C ▵ . \end{matrix}

b) Az előbbiekből következik, hogy a

D

E

F

pontok az

A_{1} B_{1} C_{1} ▵

oldalfelező pontjai, és mivel a szerkesztés szerint

\begin{matrix} D M ⊥ B_{1} C_{1}, E M ⊥ C_{1} A_{1}, \end{matrix}

azért az

M

pont az

A_{1} B_{1} C_{1} ▵

köré írt körének középpontja.
Az

A B C ▵

oldalai rendre húrjai a

C_{1}

A_{1}

B_{1}

középpontú és

C_{1} M = A_{1} M = B_{1} M

sugarú köröknek. Az

A_{1} B_{1} C_{1}

magasságvonalai (1) alapján merőlegesek az

A B C ▵

oldalaira, és azokat, mint húrokat felezik. Tehát az

A_{1} B_{1} C_{1} ▵

M_{1}

magasságpontja egyben az

A B C ▵

köré írt körének középpontja.

Kristóf László (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. g. II. o. t.)