Kezdőlap


Feladat:	330. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ágh J. , Almási L. , Bartha L. , Bencsik P. , Böröcz Sz. , Dániel G. , Donauer B. , Endrődy Tamás , Feledi Mária , Gaál T. , Gereben Ildikó , Glattfelder Gy. , Goldperger István , Havass M. , Holik Katalin , Joó I. , Kanyó Z. , Kecskés Z. , Kiss M. , Kisvölcsey J. , Kolonits F. , Komlósi F. , Kovács B. , Kristóf L. , Leibnik P. , Losonczy L. , Macskásy Enikő , Majoros K. , Máté L. , Meskó A. , Pakuts J. , Patkó M. , Péterfia Gyöngyi , Pödör B. , Sárközy A. , Sikabonyi Gy. , Simon L. , Szabó G. , Szalay Zs. , Szántó P. , Szatmári G. , Szebeni A. , Szekér A. , Tamás Gy. , Tatai Péter , Tóth Margit , Tóth Zsuzsanna , Trón T. , Újváry-Menyhárt Zoltán , Vannay A. , Veress P.
Füzet:	1956/november, 112 - 114. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Merőleges affinitás, Beírt kör, Hozzáírt körök, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Körérintési szerkesztések, Ellipszis, mint kúpszelet, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/február: 330. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Képzeljük a feladatot megoldottnak és rajzoljuk meg az $A B C$ háromszög beírt és a $c$ oldalhoz hozzáírt körét. Lásd az 1. ábrát, amely egyben a betűzést is mutatja.

1. ábra

Ismeretes, hogy a

C

csúcstól

T

, ill.

T_{c}

érintési pontok

s - c

, ill.

s

távolságnyira vannak, hol

s

a félkerület.
Az adatokból

s = \frac{d + c}{2}

, és

s - c

(feltéve, hogy

d > c

) közvetlenül megszerkeszthető.
Már csak

ϱ

megszerkesztésére van szükségünk.
Ismeretes, hagy a háromszög kétszeres területe

\begin{matrix} 2 t = c \cdot m_{c} = ϱ \cdot s, ahonnan s : c = m_{c} : ϱ, \end{matrix}

és így

ϱ

negyedik arányosként adódik. (Tehát mindig

m_{c} > ϱ

.)
A szerkesztés menete tehát: Felveszünk egy

C

-ből kiinduló félegyenest, amelyre rámérjük a

C T = s - c

és

C T_{c} = s

távolságokat.

C T

-re

T

-ben emelt merőlegesre rámérjük a megszerkesztett

ϱ = T O

szakaszt. A

T_{c}

-ben

C T

-re emelt merőleges, és a

C O

egyenes metszéspontja

O_{c}

. Megrajzolva

O

és

O_{c}

körül az érintő köröket, e két kör másik közös külső érintője lesz a

C A

oldal hordozója, és egyik belső érintője a

B A

oldal hordozója. (A másik belső érintő a

C O

tengelyre szimmetrikus megoldáshoz vezet.)
A megoldhatóság feltétele (

d > c

-n kívül), hogy a megszerkesztett két érintő-kör ne messe egymást két különböző pontban, mert utóbbi esetben nincs közös belső érintő. Ha a két kör érintkezik, akkor egyenlő szárú háromszöghöz jutunk

(a = b)

Goldperger István (Balassagyarmat, Balassa g. I. o. t.)

II. megoldás: A hozzáírt kör felhasználása nélkül is célhoz érünk, ha a

C T O

derékszögű háromszög megszerkesztése után a beírt körhöz megszerkesztjük a

C

-ből másik érintőt, azután

C

körül

m_{c}

sugárral kört rajzolunk (mint láttuk

m_{c} > ϱ

). A két kör bármelyik közös külső érintője metszi ki a

C ∢

száraiból az

A

és

B

csúcspontokat (1. ábra).
A megoldhatóság feltétele, hogy

m_{c} < C O + ϱ

, vagyis

\begin{matrix} {(m_{c} - ϱ)}^{2} < C O^{2} = {(s - c)}^{2} + ϱ^{2} . \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} ϱ = \frac{m_{c} c}{2 s} = \frac{m_{c} c}{d + c}, s - c = \frac{a + b + c}{2} - c = \frac{d - c}{2}, \end{matrix}

mely értékeket (1)-be helyettesítve, nyerjük, hogy

\begin{matrix} m_{c}^{2} < \frac{{(d - c)}^{2} (d + c)}{4 (d - c)} = \frac{d^{2} - c^{2}}{4}, azaz m_{c} < \frac{\sqrt[]{d^{2} - c^{2}}}{2} . \end{matrix}

Endrődy Tamás (Bp., III., Árpád g. I. o. t.)

III. megoldás: Induljunk ki az

A B = c

szakaszból. Mivel

a + b = d

, azért a

C

pontok mértani helye egy olyan ellipszis, amelynek fél nagytengelye

O P =

= O Q = \frac{d}{2}

, és a fél kistengelye

\begin{matrix} O R = O S = \sqrt[]{{(\frac{d}{2})}^{2} - {(\frac{c}{2})}^{2}} = \frac{\sqrt[]{d^{2} - c^{2}}}{2} . \end{matrix}

Másrészt a

C

pontok mértani helye egy

A B

-vel párhuzamos

e

egyenes

m_{c}

távolságban (2. ábra).

2. ábra

Ezen

e

egyenes metszi ki az ellipszisből a keresett

C

pontot. Egyenes és ellipszis metszéspontjának megszerkesztése legegyszerűbben úgy történik, hogy az egyenest átvisszük egy, az ellipszissel affin-rokonságban levő körrendszerbe, a körrendszerben megszerkesztett metszéspontokat azután visszavisszük az ellipszisrendszerbe.
Jelen esetben a legcélszerűbb a kistengely fölé rajzolt

k'

kört tekinteni az ellipszis affin megfelelőjének. Ez esetben ugyanis a kistengely hordozója az affinitás

x

tengelye, az affinitás iránya erre merőleges, a nagytengely

P

végpontjának megfelelője a körön

P'

, és így az

e

-nek affin megfelelője

e'

egybeesik

e

-vel. Az

e'

metszi a

k'

kört

C'

-ben, az ebben húzott

t'

érintő metszi a

p'

érintőt

T'

-ben, és az

x

tengely

X

-ben.

T'

megfelelője az ellipszis rendszerben, a

p

-n fekvő

T

. A

T X

egyenes metszi ki

e

-ből a keresett

C

pontot.

Tatai Péter (Bp., XIV., I. István g. I. o. t.)