Kezdőlap


Feladat:	327. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Dobos Gizella , Tóth Zsuzsanna
Füzet:	1956/november, 108 - 109. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hossz, kerület, Terület, felszín, Téglalapok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/február: 327. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyen a téglalap két oldala $a$ és $b$ , akkor

\begin{matrix} a + b = \frac{k}{2}, a b = t, \end{matrix}

(1)

vagyis

a

és

b

\begin{matrix} 2 x^{2} - k x + 2 t = 0, \end{matrix}

egyenlet két gyöke (természetesen tetszés szerinti sorrendben):

\begin{matrix} a = x_{1} = \frac{k + \sqrt[]{k^{2} - 16 t}}{4}, b = x_{2} = \frac{k}{2} - x_{1} = \frac{k - \sqrt[]{k^{2} - 16 t}}{4} . \end{matrix}

A megoldhatóság feltétele:

\begin{matrix} k^{2} \geq 16 t, vagyis \frac{k}{4} \geq \sqrt[]{t} . \end{matrix}

Ha az egyenlőségjel érvényes, akkor

a = b = \frac{k}{4}

, vagyis a téglalap négyzet.

Tóth Zsuzsanna (Makó, József A. g. II. o. t.)

II. megoldás: Feladatunk geometriai szerkesztési feladattá fogalmazható át a következőképpen: Adva van egy

t

területű négyzet és

k

szakasz. Szerkesszük meg annak a téglalapnak

x

y

oldalait, amely téglalap területe

t

, és kerülete

k

.
Tehát az előző megoldás (1) egyenleteinek eleget tevő szakaszokat kell megszerkeszteni, vagyis a

\frac{k}{2}

szakaszt kell két olyan részre osztani, hogy a részek mértani középarányosa adott négyzet oldala legyen.
Erre felhasználjuk azt az ismeretes tételt, hogy a derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság mértani középarányos az átfogó két szelete között. Tehát

\frac{k}{2}

, mint átmérő, fölé Thales-kört rajzolunk, melyet a

\frac{k}{2}

átfogóval párhuzamosan

\sqrt[]{t}

távolságban elmetszünk. Bármely metszéspont merőleges vetülete a

\frac{k}{2}

átfogót a keresett részekre osztja (lásd az ábrát).

A megoldhatóság feltétele, hogy a négyzetoldal,

\sqrt[]{t}

ne legyen nagyobb a Thales-kör sugaránál, vagyis

\begin{matrix} \sqrt[]{t} \leq \frac{k}{4}, \end{matrix}

ami megegyezik az I. megoldásban nyert feltétellel.

Dobos Gizella (Szeged, Ságvári g. II. o. t.)