Kezdőlap


Feladat:	326. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartha László , Endrödy Tamás
Füzet:	1956/október, 56 - 57. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/február: 326. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyen a $P Q$ távolság $x$ km. Míg $B$ $Q$ -ból elindulva találkozik $A$ -val, eltelik $\frac{x}{10} \cdot \frac{1}{8} = \frac{x}{80}$ nap. A találkozásig tehát $A$ megtett $72 + 30 \cdot \frac{x}{80}$ km utat, míg $B$ $\frac{x}{10} \cdot \frac{x}{80}$ km-t utat. A megtett utak összege $P Q$ , vagyis

\begin{matrix} 72 + 30 \frac{x}{80} + \frac{x^{2}}{800} = x . \end{matrix}

A törteket eltávolítva és rendezve

\begin{matrix} x^{2} - 500 x + 57600 = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} x_{1} = 300, x_{2} = 180. \end{matrix}

A feladatnak tehát két megoldása van:

\begin{matrix} P_{1} Q_{1} & = 320 km, \\ P_{2} Q_{2} & = 180 km . \end{matrix}

Bartha László (Balassagyarmat, Balassa g. I. o. t.)

II. megoldás: Legyen

x

a napok száma, amelyek eltelnek

B

indulásától az

A

-val való találkozásig. A feladat szerint

x = \frac{P Q}{10} \cdot \frac{1}{8}

, vagyis

P Q = 80 x

km.
A találkozásig

A

megtesz

72 + 30 x

km-t,

B

pedig

x \cdot \frac{P Q}{10} = x \cdot 8 x = 8 x^{2}

km-t.
Tehát

\begin{matrix} 72 + 30 x + 8 x^{2} = 80 x . \end{matrix}

Rendezve és kettővel egyszerűsítve

\begin{matrix} 4 x^{2} - 25 x + 36 = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} x_{1} = 4 nap, x_{2} = \frac{9}{4} nap . \end{matrix}

Tehát a keresett

P Q

távolság vagy

80 \cdot 4 = 320

km, vagy

80 \cdot \frac{9}{4} = 180

km.

Endrődy Tamás (Bp., III., Árpád g. I. o. t.)