Kezdőlap


Feladat:	324. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Romhányi Márta
Füzet:	1956/október, 55. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Menelaosz-tétel, Szögfelező egyenes, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/január: 324. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek az $A$ , $B$ , $C$ csúcspontokból kiinduló egy-egy belső, ill. egy külső szögfelező metszéspontjai az $a$ , $b$ , $c$ oldalakon rendre $X$ , $Y$ , $Z$ (lásd ábrát).

X

Y

Z

egy egyenesen van a Menelaos-tétel megfordítása szerint, ha bebizonyítjuk, hogy

\begin{matrix} (A B Z) (B C X) (C A Y) = - 1. \end{matrix}

Az osztóviszonyokat részletesen kiírva, és a szögfelező osztásarányára vonatkozó ismert tételt felhasználva:

\begin{matrix} (A B Z) (B C X) (C A Y) = \frac{A Z}{Z B} \cdot \frac{B X}{X C} \cdot \frac{C Y}{Y A} = (- \frac{b}{a}) \cdot \frac{c}{b} \cdot \frac{a}{c} = - 1. \end{matrix}

Ezzel állításunkat bizonyítottuk.

Megjegyzés:

a = b

esetén a

Z

metszéspont nem létezik.

Romhányi Márta (Miskolc, Vámos Ilonka lg. II. o. t.)