Kezdőlap


Feladat:	322. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Feledy Mária , Ligeti Zsolt
Füzet:	1956/október, 53 - 54. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/január: 322. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Ismert tétel szerint

\begin{matrix} a^{2} = c \cdot (c - q), \end{matrix}

(1)

innen

\begin{matrix} c^{2} - q c - a^{2} = 0. \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} c = \frac{q}{2} + \sqrt[]{{(\frac{q}{2})}^{2} + a^{2}} \end{matrix}

(2)

Feladatunk megoldása szempontjából a négyzetgyöknek csak pozitív előjellel van értelme (máskülönben

c < 0

lenne).
(2) szerint a keresett háromszög átfogóját úgy nyerjük, hogy az

a

-val és

\frac{q}{2}

-vel mint befogókkal szerkesztett derékszögű háromszög átfogójához hozzáadjuk a

\frac{q}{2}

szakaszt (1. ábra).

1. ábra

Feladatunknak mindig egy megoldása van.

Ligeti Zsolt (Bp., XIV., Vegyip. t. II. o. t.)

II. megoldás: A szerkesztés elvégezhető a körhöz egy kívül fekvő pontból húzott érintő és szelő felhasználásával. Ugyanis az I. megoldásban felhasznált (1) összefüggés így is írható

\begin{matrix} a^{2} = p (p + q) \end{matrix}

Eszerint

p

-t a következő módon szerkeszthetjük meg:

P Q = a

hosszúságú távolság

Q

végpontjában

\frac{q}{2}

sugarú

O

középpontú érintőkört rajzolunk (2. ábra).

2. ábra

P O

félsugár metszi ki a körből rendre az

U

és

V

pontokat.

\begin{matrix} P U = p, \end{matrix}

és

\begin{matrix} P V = p + q = c . \end{matrix}

Feledy Mária (Esztergom, Dobó Katalin lg. I. o. t.)