Kezdőlap


Feladat:	321. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Komlósi Ferenc , Szekér Aladár , Tóth János
Füzet:	1956/október, 52 - 53. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Beírt kör, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/január: 321. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Képzeljük a feladatot megoldottnak. A betűzést az 1. ábra mutatja.

1. ábra

A beírt kör középpontjából az érintési pontokhoz kiinduló sugarak által alkotott szögek ‐ a húrnégyszög szögtétele alapján ‐ rendre egyenlők a háromszög

α'

β'

és

γ'

külső szögeivel. Ha tehát egy tetszőleges körben megszerkesztjük az adott

α'

β'

γ'

középponti szögeket, és a szögszáraknak a körrel való metszéspontjaiban a körhöz érintőket szerkesztünk, az adott háromszöghöz hasonló háromszöget kapunk a beírt körrel együtt. Az utolsó lépés a nyert ábra megfelelő arányos változtatása.

Komlósi Ferenc (Makó, József A. g. II. o. t.)

II. megoldás: Az adott

A B C

háromszöggel egyenlő területű

A B C'

háromszöget szerkesztünk oly módon, hogy a

C

pontot az

A B

oldallal párhuzamosan eltoljuk, míg

A C' = s

, ahol

s

a háromszög félkerülete (2. ábra).

2. ábra

A B C

háromszög

B

csúcsából kiinduló magasságot

m

-mel jelölve, a háromszög területe

\begin{matrix} t = s \cdot \frac{m}{2} = s \cdot ϱ, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} ϱ = \frac{m}{2} . \end{matrix}

ϱ

birtokában az

O

szerkesztése triviális.

Szekér Aladár (Pannonhalma, Bencés g. II. o. t.)

III. megoldás: Ismeretes, hogy az érintési pontok távolsága az

A

B

C

csúcsoktól rendre

s - a

s - b

s - c

. E távolságok, és így az érintési pontok megszerkeszthetők. Utóbbiakból az

O

megszerkesztése kézenfekvő.

Tóth János (Balassagyarmat, Balassi g. I. o. t.)