Kezdőlap


Feladat:	316. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Újváry-Menyhárt Zoltán , Vékony Lajos
Füzet:	1956/október, 49 - 50. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Alakzatok hasonlósága, Menelaosz-tétel, Térgeometriai bizonyítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/december: 316. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A betűzést az ábra mutatja.

O_{1} O_{2}

centrálison fekvő külső hasonlósági pont

K_{3}

. Nyilvánvaló, hogy

\begin{matrix} K_{3} E_{1} O_{1} ▵ \sim K_{3} E_{2} O_{2} ▵, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} K_{3} O_{1} : K_{3} O_{2} = r_{1} : r_{2}, \end{matrix}

amiből következik, hogy

K_{3}

osztó viszonya

\begin{matrix} (O_{1} O_{2} K_{3}) = - \frac{r_{1}}{r_{2}} . \end{matrix}

Hasonlóképpen

\begin{matrix} (O_{2} O_{3} K_{1}) = - \frac{r_{2}}{r_{3}}, \end{matrix}

és

\begin{matrix} (O_{3} O_{1} K_{2}) = - \frac{r_{3}}{r_{1}} . \end{matrix}

Tehát az

O_{1} O_{2} O_{3} ▵

oldalain a

K_{1}

K_{2}

K_{3}

pontok által létesített osztó viszonyok szorzata

\begin{matrix} (- \frac{r_{1}}{r_{2}}) (- \frac{r_{2}}{r_{3}}) (- \frac{r_{3}}{r_{1}}) = - 1, \end{matrix}

és ebből ‐ a Menelaos-féle tétel megfordítása alapján ‐ következik, hogy

K_{1}

K_{2}

K_{3}

egy egyenesen van.
A

B_{1}

B_{2}

B_{3}

belső hasonlósági pontok által az

O_{1} O_{2} O_{3} ▵

oldalain létesített osztóviszonyok az előbbiekből csak előjelben különböznek. Tehát két belső hasonlósági pont mindegyikére az osztóviszony pozitív, egy külső hasonlósági pontra nézve pedig negatív, tehát a szorzat ismét

- 1

. Pl.

\begin{matrix} (O_{1} O_{2} B_{3}) (O_{2} O_{3} B_{1}) (O_{3} O_{1} K_{2}) = \frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot \frac{r_{2}}{r_{3}} \cdot (- \frac{r_{3}}{r_{1}}) = - 1 \end{matrix}

és így

B_{3}

B_{1}

és

K_{2}

egy egyenesen vannak.
Ezzel a feladat második állítását is bebizonyítottuk.

Ujváry-Menyhárt Zoltán (Baja, Ép. ip. t. II. o. t.)

II. megoldás: Feladatunk megoldható térbeli meggondolásokkal. Emeljünk az

O_{1}

O_{2}

és

O_{3}

pontokban a rajz síkjára merőlegeseket, és ezekre mérjük fel a sík mindkét oldalára rendre a

r_{1}

r_{2}

r_{3}

szakaszokat, nyerjük a sík egyik oldalán rendre az

M_{1}

M_{2}

M_{3}

, a másik oldalán az

M_{1}'

M_{2}'

M_{3}'

pontokat.
Ha pl. az

M_{1} M_{2}

egyenest az

O_{1} O_{2}

centrális körül a síkba forgatjuk, akkor

M_{1}

és

M_{2}

leforgatásai: (

M_{1}

) és (

M_{2}

) ‐ az előbbiek alapján ‐ a

k_{1}

ill.

k_{2}

körre kerülnek és (

M_{1}

), (

M_{2}

) a két kör közötti hasonlóságban egy megfelelő pontpár, mert

O_{1} (M_{1}) | | O_{2} (M_{2})

. Tehát az (

M_{1}

) (

M_{2}

) egyenes átmegy a

K_{3}

külső hasonlósági ponton, de akkor a térbeli

M_{1} M_{2}

egyenes is

K_{3}

-ban metszi a

O_{1} O_{2}

forgatási tengelyt.
Ugyanígy bizonyítható, hogy az

M_{1} M_{3}

egyenes

K_{2}

-ben és az

M_{2} M_{3}

, egyenes

K_{1}

-ben döfi a síkot. A

K_{1}

K_{2}

és

K_{3}

pontok tehát rajta vannak az [

M_{1} M_{2} M_{3}

] síknak a háromszög síkjával való metszésvonalán.
Ha pl.

M_{2}

helyett tükörkepét:

M_{2}'

-t tekintjük, akkor teljesen hasonló gondolatmenettel az [

M_{1} M_{2}' M_{3}

] síknak a háromszög síkjával való metszésvonalán vannak rajta a

B_{3}

B_{1}

K_{2}

pontok.

Vékony Lajos (Bp., XX., Kossuth g. II. o. t.)