Kezdőlap


Feladat:	308. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Sárközy András
Füzet:	1956/május, 150. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ceva-tétel, Háromszögek nevezetes tételei, Beírt kör, Térelemek és részeik, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/november: 308. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Ceva-tétel megfordítása szerint $A X$ , $B Y$ és $C Z$ párhuzamosak, vagy egy ponton mennek át, ha $(A B Z) (B C X) (C A Y) = 1$ . Részletesen kiírva

\begin{matrix} (A B Z) (B C X) (C A Y) = \frac{A Z}{Z B} \cdot \frac{B X}{X C} \cdot \frac{C Y}{Y A} = \frac{A Z \cdot B X \cdot C Y}{Y A \cdot Z B \cdot X C} . \end{matrix}

Miután

X

Y

és

Z

egy-egy oldal belső pontja (lásd az ábrát), mindhárom tört értéke pozitív, tehát pozitív a szorzatuk is.

Másrészt a számláló szorzata egyenlő a nevezők szorzatával, mert az átrendezett jobboldalon a számlálóban levő minden szakasz alatt a nevezőben vele abszolút értékre nézve egyenlő szakasz áll. (Külső pontból a körhöz húzott két érintőszakasz egyenlő.) A vizsgált kifejezés értéke tehát valóban 1, és ebből állításunk következik, tekintve, hogy

A Z

B X

és

C Y

nem lehetnek párhuzamosak.

Sárközy András (Gyöngyös, Vak Bottyán g. II. o. t.)