Kezdőlap


Feladat:	308. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1956/szeptember, 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ceva-tétel, Háromszögek nevezetes tételei, Beírt kör, Térelemek és részeik, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/november: 308. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

II. megoldás: A megoldás a XII. kötet 150. oldalán (1956. májusi szám) Ceva tételével történt. Itt most egy számításmentes térgeometriai bizonyítást adunk.
$A Y = A Z$ , $B Z = B X$ , $C X = C Y$ mint körhöz egy pontból húzott érintőszakaszok (lásd az ábrát).

A

B

C

pontokban a háromszög síkjára emelt merőlegesekre mérjük fel rendre mindkét oldalra az

A Y = A Z

B Z = B X

és

C X = C Y

távolságokat. Jelöljük a háromszög síkja fölött, ill. alatt így nyert pontokat rendre

A_{1}

B_{1}

C_{1}

-gyel, ill.

A_{2}

B_{2}

C_{2}

-vel. Ekkor

B_{1} C_{2}

X

pontban metszi az

[A B C]

síkot, és ugyanezen a ponton megy át

B_{2} C_{1}

is. Hasonlóképpen

C_{1} A_{2}

és

C_{2} A_{1}

Y

ponton,

A_{1} B_{2}

és

A_{2} B_{1}

Z

ponton megy át. Az

[A_{1} B_{1} C_{2}]

és

[A_{1} B_{2} C_{1}]

sík metszésvonala az

A_{1} X

egyenes, merőleges vetülete a háromszög síkjában

A X

. Hozzávéve a harmadik síknak az

[A_{2} B_{1} C_{1}]

síkot, ennek metszésvonalai az előzőkkel

B_{1} Y

és

C_{1} Z

, vetületük az

[A B C]

síkban

B Y

és

C Z

. E három síknak mindig van egy közös pontja

(P)

, amelyen átmegy a három metszésvonal, és így e metszésvonalak vetületei átmennek e

P

pont

P'

vetületén.