Kezdőlap


Feladat:	269. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Schipp Ferenc
Füzet:	1955/december, 154. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Oszthatóság, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/április: 269. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük kifejezésünket $N$ -nel és írjunk 1955 helyébe $a$ -t, tehát

\begin{matrix} N = n a^{n + 1} - (n + 1) a^{n} + 1 = n a^{n} \cdot a - n \cdot a^{n} - a^{n} + 1 = \\ = n a^{n} (a - 1) - (a^{n} - 1) . \end{matrix}

Felhasználva az

a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + ... + a b^{n - 2} + b^{n - 1})

ismert azonosságot

\begin{matrix} N = (a - 1) [n a^{n} - (a^{n - 1} + a^{n - 2} + ... + a + 1)] . \end{matrix}

n a^{n}

-t, mint

n

tagú összeget fogva fel

\begin{matrix} N = (a - 1) [(a^{n} - a^{n - 1}) + (a^{n} - a^{n - 2}) + ... + (a^{n} - a) + (a^{n} - 1)] = \\ = (a - 1) [a^{n - 1} (a - 1) + a^{n - 2} (a^{2} - 1) + ... + a (a^{n - 1} - 1) + (a^{n} - 1)] . \end{matrix}

Ebben az alakban nyilvánvaló, hogy a szögletes zárójelben minden tag osztható

(a - 1)

-gyel, tehát

N

osztható

{(a - 1)}^{2} = {(1955 - 1)}^{2} = 1954^{2}

-tel.

Schipp Ferenc (Mohács, Kisfaludy K. g. II. o. t.)