Feladat: 268. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ádám A. ,  B. Nagy O. ,  Bartha Gyöngyi ,  Bartók K. ,  Behringer T. ,  Csapodi Cs. ,  Csapody M. ,  Cseh J. ,  Cser A. ,  Csizmadia L. ,  Deres János ,  Dobrovolszky András ,  Fazekas K. ,  Fillinger L. ,  Fogarassy M. ,  Frivaldszky S. ,  Gáti Gy. ,  Gyarmtahy A. ,  Heinemann Z. ,  Hoffmann Gy. ,  Ijjas I. ,  Jáky M. ,  Jókuti F. ,  Kim Ju Szon ,  Kismarty L. ,  Konrády A. ,  Kozma T. ,  Leipnik I. ,  Lénárt Á. ,  Makkai M. ,  Makusz A. ,  Marczin Gy. ,  Pak To Ha ,  Papp Z. ,  Pogány E. ,  Rétey P. ,  Rockenbauer A. ,  Rudolf P. ,  Ruppenthal P. ,  Schipp F. ,  Simák P. ,  Sin Edit ,  Stáhl J. ,  Surányi Gy. ,  Szabadits Ö. ,  Szebeni A. ,  Szilárd A. ,  Tokai J. ,  Vámos A. ,  Zádor M. ,  Zaránd Pál 
Füzet: 1955/december, 151 - 154. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1955/március: 268. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Képzeljük a feladatot megoldottnak (1. ábra). A P pontban az adott körhöz húzott érintő messe az AB távolságot egy R pontban.

 
 
1. ábra
 

Feladatunk nyilván meg van oldva, ha sikerül az R pontot, ill. az AR=x szakaszt megszerkeszteni. Jelöljük az adott AB szakasz hosszát d-vel, az A pontból az adott körhöz húzott érintő hosszát AE=t-vel.
A PMQ∢=RPQ∢, mint a PQ íven nyugvó kerületi szögek. RPQ∢=ARP∢, mint váltószög, mert a feltétel szerint PQ∥AB. Tehát
PMQ∢≡AMB∢=ARP∢,
és így ‐ mivel az A-nál fekvő szög közös ‐
ARP▵∼AMB▵.

Tehát
x:AP=AM:d,
vagyis felhasználva az egy ponton átmenő szelőkön keletkezett metszetekre vonatkozó ismeretes tételt
x=AP⋅AMd=t2d.

A szerkesztés menete: Megszerkesztjük az AE=t érintő-hosszt. d és t-ből negyedik arányosként (d:t=t:x) nyerjük az x távolságot, ill. az R pontot az AB szakaszon. R-ből az adott körhöz szerkesztett érintő érintési pontja lesz a P pont. Az AP egyenes második metszéspontja az adott körrel a keresett M pont. Mivel R-ből mindenkor két érintő szerkeszthető, azért feladatunknak mindig 2 és csakis 2 megoldása (M és M*) van.
A szerkesztés igazolása: Azt kell bizonyítani, hogy a megszerkesztett M pontnak a B-vel való összekötése az adott kört olyan Q pontban metszi másodszor, amelyre PQ∥AB.
A szerkesztésre vezető gondolatmenet megfordításából következik a megszerkesztett R, P és M pontokra, hogy
ARP▵∼AMB▵,
vagyis
ARP∢=AMB∢.(1)

Mint ugyanazon PQ íven nyugvó kerületi szögek
QPR∢=PMQ∢≡AMB∢.(2)

(1) és (2) egybevetéséből következik, hogy
QPR∢=ARP∢,
azaz tényleg
PQ∥AB.

(A feladványkitűző megoldása.)

 

II. megoldás: Képzeljük a feladatot megoldva. Legyen MP=p, MQ=q, PA=a, QB=b (2. ábra).
 
 

Mivel a feladat szerint PQ∥AB, azért
ab=a+pb+q.(3)

Az A és B pontokból az adott körhöz húzott érintők hosszát e-, ill. f-fel jelölve,
e2=a(a+p),(4)f2=b(b+q),(5)


és így (3) figyelembevételével
e2f2=ab⋅a+pb+q=(a+p)2(b+q)2
vagyis
ef=a+pb+q=MAMB.

Eszerint az M pont rajta van az AB szakaszhoz tartozó, ef viszonyszámmal jellemzett Apollonius-féle körön. E kör és az adott kör metszéspontjai szolgáltatják a keresett M és M* pontokat.
 

Dobrovolszky András (Bp. I., Toldy F. g. II. o. t.)
 

III. megoldás: Induljunk ki ismét a megoldott feladatból. A betűzést a 3. ábra mutatja.
 
 
3. ábra
 

Mivel a feltétel szerint az MPQ▵ és MAB▵ hasonlóak és hasonló helyzetűek az M külső hasonlósági középpontra, azért ugyanez áll a két háromszög köré írt körökre is, vagyis az MAB▵ köré írt kör az M pontban érinti az adott kört.
Feladatunk tehát két adott ponton átmenő, adott kört érintő kör szerkesztése.
Két adott ponton végtelen sok kör megy át, ezek egy körsort alkotnak; a két adott pont, A és B a körsor alappontjai. Az AB egyenes a körsor közös hatványvonala. A hatványvonal tetszőleges P pontjából húzzunk érintőket a körsor köreihez, ezeknek az érintőknek a T érintési pontig terjedő szakaszai már az előbbi két megoldásban felhasznált ismeretes tétel alapján egyenlők; e PT szakasz hosszának meghatározása céljából elegendő a körsor egyetlen tetszőleges körét megrajzolni.
A szerkesztés menete tehát: Szerkesztünk a két adott ponton átmenő, az adott kört metsző, egyébként tetszőleges sugarú kört. E kör messe az adott kört az U és V pontokban. Az AB és UV egyenes metszéspontját jelöljük H-val. A H pont közös hatványpontja az adott körnek és az A, B alappontú körsornak, tehát a körsor azon köreinek is, melyek az adott kört érintik. A H pontból mindezekhez a körökhöz húzott érintőknek az érintési pontig terjedő szakaszai egyenlők. Ezért H-ból az adott körhöz érintőt húzva, az M érintési pont egyben az A-n és B-n átmenő és az adott kört érintő körnek is érintési pontja, HM a két kör közös érintője.
Feladatunknak két megoldása van, mert H-ból az adott körhöz két érintő húzható: HM és HM*.
 

Bartha Gyöngyi (Bp. VIII., Apáczai Csere g. II. o. t.)
 

Megjegyzés: Az I. megoldás jól kiegészíti a II. és III. megoldást. Mikor ugyanis az utóbbi kettő gyakorlatilag nem alkalmazható, mert az Apollonius-kör közép-pontja, ill. a H pont messzire, a rajz keretén kívül esik, akkor az I. megoldás R pontja gyakran felhasználható. Amikor viszont gyakorlatilag az I. megoldás nem vezet célhoz, mert x>d és R nincs a rajz keretén belül, akkor gyakran a II. vagy III. megoldás alkalmazható.