A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: A súlypont és a súlyvonal fizikai értelmezéséből következnek alábbi tulajdonságaik. 1. Valamely idom súlypontján az idom mindegyik súlyvonala átmegy. Fordítva: az idom súlypontja rajta van az idom mindegyik súlyvonalán. 2. Ha egy idomot két részre bontunk, s mindkettőnek megszerkesztjük a súlypontját, a két súlypont összekötő egyenes súlyvonala az eredeti idomnak. Ebből következik: ha egy idomból levágunk egy darabot, és megszerkesztjük az eredeti idom és a levágott idom súlypontját, ezek összekötő egyenese a csonkított idomnak is súlyvonala. Továbbá: ha egy idomhoz hozzáillesztünk egy másik idomot és megszerkesztjük a megnövelt idomnak és a hozzáillesztett idomnak a súlypontját, e két súlypont összekötő egyenese az eredeti idomnak is súlyvonala. Ezek alapján a trapéznak tetszőleges számú súlyvonalát módunkban van megszerkeszteni és bármely két súlyvonal metszéspontja megadja a keresett súlypontot. Néhány súlyvonal szerkesztését itt adjuk (1. ábra): 1. ábra a) Hosszabbítsuk meg a trapéz szárait és egészítsük ki a trapézt háromszöggé. A kiegészítő háromszög és a megnövelt idom súlypontjának összekötő egyenese a trapéznak is súlyvonala; ez a két párhuzamos oldal felezőpontjának összekötő egyenese. b) Bontsuk a trapézt egyik átlójával két háromszögre, a két háromszög súlypontjának összekötő egyenese szintén súlyvonala a trapéznak. (E súlyvonal párhuzamos a trapéz másik átlójával, ami abból következik, hogy a háromszög súlypontja a súlyvonalat arányban osztja.) c) Bontsuk szét a trapézt egy paralelogrammára és egy háromszögre, a paralelogramma középpontját kössük össze a háromszög súlypontjával. Ez az egyenes is súlyvonala a trapéznak, stb.
Bácsy Ernő (Bp. VIII., Fazekas g. II. o. t.) | II. megoldás: Ha az pontban tömeget, az pontban pedig tömeget képzelünk egyesítve, akkor a két tömeg közös súlypontja az egyenesen van, a nagyobb tömeghez közelebb, és az szakaszt az és tömegek arányában osztja. Bontsuk fel a trapézt egyik átlójával két háromszögre és szerkesszük meg ezek és súlypontját (2. ábra). 2. ábra Homogén lemezek tömege, tehát e két háromszög tömege is, területükkel arányos. Miután azonban a két háromszög magassága egyenlő, az , és -be képzelendő tömegek a kérdéses háromszög alapjaival, tehát a párhuzamos oldalak hosszával arányosak. Eszerint az súlypontot úgy is nyerhetjük, hogy az szakaszt a párhuzamos oldalak arányában osztjuk.
Csizmadia Lajos (Orosháza, Táncsics g. II. o. t.) | III. megoldás: A II. megoldás lehetővé teszi, hogy még két igen egyszerűen megszerkeszthető súlyvonalat találjunk. Az és és pontoknak a párhuzamos oldalakkal párhuzamos vetületei a trapéz oldalán legyenek , és (2. ábra). A szerkesztés szerint és három egyenlő részre osztja -t. Az pont pedig ‐ mint láttuk ‐ a középső hosszúságú szakaszt arányban osztja. Osszuk megfordítva a oldalt a és pontokkal 3 részre. Az és egyenesek (2. ábra) messék egymást a pontban. Azt állítjuk, hogy a ponton át -vel párhuzamosan húzott egyenes súlyvonal. Az előbbiek alapján csak azt kell bebizonyítani, hogy a egyenes a oldalát olyan pontban metszi, amelyre nézve De | | vagyis Hasonlóképpen nyerjük, hogy Tehát , ami bizonyítandó volt. IV. megoldás: A 2. ábráról könnyen leolvasható, hogy | | és | | tehát Ez a viszonyszám vezet a következő legegyszerűbb ‐ és ennélfogva a gyakorlatban leggyakrabban alkalmazott ‐ szerkesztéshez. 3. ábra Hosszabbítsuk meg az oldalt az -n túl, -vel, a oldalt ellenkező irányban -val (3. ábra), akkor újabb súlyvonal. Az hasonlóságból ugyanis | | amiből az állítás következik.
Szabadits Ödön (Bp. XX., Kossuth g. I. o. t.) | Megjegyzés: A hiányos megoldásokban legtöbbnyire az indoklás hiányzott. Volt néhány helytelen megoldás is azzal az állítással, hogy a területfelező egyenes súlyvonal, holott ez csak akkor igaz, ha a félterületek súlypontjai a felező egyenestől egyenlő távolságra vannak. Helytelen megoldás az is, hogy a trapéz négy csúcspontjára ható párhuzamos irányú egyenlő erők támadópontját szerkesztjük. Ez a négy csúcspontból álló rendszer súlypontja, de nem a trapézé. |