Kezdőlap


Feladat:	266. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Böröczky Károly
Füzet:	1955/december, 147 - 148. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/március: 266. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy $x$ másodperc múlva a $B$ , ill. $C$ pontokból indult pont a $D$ , ill. $E$ helyzetbe kerül, és $D E = 26$ méter (lásd az ábrát).

D

pontból az

A C

befogóra bocsátott merőleges talppontja legyen

F

.
Pythagoras tételét alkalmazva a

D F E

háromszögre

\begin{matrix} D F^{2} + E F^{2} = D E^{2} = 676. \end{matrix}

Itt

\begin{matrix} D F^{2} = A D^{2} - A F^{2}, \end{matrix}

és egyrészt

\begin{matrix} A D = 85 - 8, 5 x = 17 (5 - \frac{x}{2}), \end{matrix}

másrészt

\begin{matrix} \frac{A F}{A D} = \frac{A C}{A B} = \frac{75}{85} = \frac{15}{17}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} A F = \frac{15}{17} A D = 15 (5 - \frac{x}{2}), és A D^{2} - A F^{2} = (17^{2} - 15^{2}) {(5 - \frac{x}{2})}^{2} = 64 {(5 - \frac{x}{2})}^{2} . \end{matrix}

Végül

\begin{matrix} E F = A C - A F - C E = 75 - 15 (5 - \frac{x}{2}) - 5 x = \frac{5 x}{2} . \end{matrix}

Így a következő egyenletet nyerjük

x

-re:

\begin{matrix} 676 = 64 (25 - 5 x + \frac{x^{2}}{4}) + {(\frac{5 x}{2})}^{2} = 1600 - 320 x + \frac{89}{4} x^{2}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} 89 x^{2} - 1280 x + 3696 = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} x_{1,2} = \frac{640 \pm 284}{89}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} x_{1} = \frac{356}{89} = 4 [x_{2} = \frac{924}{89} > 10] \end{matrix}

A 10-nél nagyobb gyök jelen esetben nem jöhet számításba, mert 10 mp alatt a

B

-ből kiinduló pont eléri az

A

végpontot.
Tehát 4 mp múlva lesz a két pont távolsága 26 m.

Böröczky Károly (Bp. XVIII., Steinmetz g. II. o. t.)