Kezdőlap


Feladat:	264. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Surányi Gyula , Szatmáry Zoltán
Füzet:	1955/november, 119 - 120. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú diofantikus egyenletek, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/március: 264. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I megoldás: Két 4-jegyű szám hányadosa csak 1-jegyű lehet, tehát a kérdéses, hányados 1, 4 vagy 9.
Ha a hányados 1 volna, akkor mindkét négyzetszám $\bar{x y y x}$ alakú volna. Ez azonban osztható 11-gyel, a 11-gyel való oszthatósági szabály szerint. Feltételeinknek tehát csak $33^{2} = 1089$ , $44^{2} = 1936$ , $55^{2} = 3025$ , $66^{2} = 4356$ , $77^{2} = 5929$ , $88^{2} = 7744$ , $99^{2} = 9801$ felelhetne meg, de ezek egyike sem $\bar{x y y x}$ alakú.
$\bar{x y z t} = 4 \cdot \bar{t z y x}$ is lehetetlen, mert a baloldal páros négyzetszám lévén csak $0, 4$ vagy 6-ra végződhetne. Azonban $t \geq 3$ esetén a jobboldal 5 jegyű; $t = 0$ esetén pedig $z = 0$ és így $100 \bar{x y} = 4 \bar{y x}$ , vagyis $996 x = - 60 y$ kellene, hogy fennálljon.
Tehát csak

\begin{matrix} \bar{x y z t} = 9 \cdot \bar{t z y x} \end{matrix}

jöhet számításba.
Ez esetben

t \geq 2

esetén a jobboldal már nem négyjegyű, tehát szükségképpen

\begin{matrix} t = 1, és így x = 9, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 9000 + 100 y + 10 z + 1 = 9 (1000 + 100 z + 10 y + 9), \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} y - 89 z = 8. \end{matrix}

Ezen egyenletnek nem negatív egyjegyű egész számokban

\begin{matrix} z = 0, y = 8 \end{matrix}

az egyetlen megoldása.
Feladatunknak tehát csak a 9801, 1089 számpár felelhet meg; az azonban valóban megfelel, mert

\begin{matrix} 9801 = 99^{2} = 9 \cdot 1089 = 3^{2} \cdot 33^{2} . \end{matrix}

Szatmáry Zoltán (Bp. VIII., Piarista g. II. o. t.)

II. megoldás: Miután megállapítottuk, hogy a hányados csak 9 lehet, abból következik, hogy a

\bar{t z y x}

-nek felső határa

\frac{10 000}{9}

, vagyis

\begin{matrix} 1000 < \bar{t z y x} \leq 1111. \end{matrix}

De 1000 és 1111 közé csak 32-nek és 33-nak négyzete esik.

32^{2} = 1024

nem felel meg, mert

4201

nem négyzetszám, viszont

33^{2} = 1089

megfelel, mert

9801 = 99^{2} = 9 \cdot 1089

Surányi Gyula (Bp. I., Toldy Ferenc g. II. o. t.)