Kezdőlap


Feladat:	263. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ádám Antal
Füzet:	1955/november, 117 - 118. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/március: 263. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Induljunk ki az

\begin{matrix} {(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = 2 (a^{2} + b^{2}) \end{matrix}

azonosságból. Innen a baloldal második tagját elhagyva és 2-vel osztva, valós

a

és

b

esetén

\begin{matrix} \frac{1}{2} {(a + b)}^{2} \leq a^{2} + b^{2} . \end{matrix}

Alkalmazzak ezt az egyenlőtlenséget az

a = x + \frac{1}{x}

és

b = y + \frac{1}{y}

esetén.
A két oldalt felcserélve.
Figyelembevéve az

x + y = 1

feltételt

\begin{matrix} {(x + \frac{1}{x})}^{2} + {(y + \frac{1}{y})}^{2} \geq \frac{1}{2} {(1 + \frac{1}{x y})}^{2}, \end{matrix}

(1)

ahol ez egyenlőség jele csak akkor áll fenn, ha

x + \frac{1}{x} = y + \frac{1}{y}

.
A jobboldal akkor a legkisebb, ha

\frac{1}{x y}

a legkisebb.
Ismeretes, hogy két pozitív szám mértani középarányosa kisebb a számtani középarányosnál, tehát esetünkben

\begin{matrix} x y \leq {(\frac{x + y}{2})}^{2} = \frac{1}{4}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} \frac{1}{x y} \geq 4 \end{matrix}

(2)

és az egyenlőség jele csak

x = y

esetén áll fenn, amely esetben azonban (1)-ben is az egyenlőség jele érvényes.
(2) figyelembevételével (1) így írható

\begin{matrix} {(x + \frac{1}{x})}^{2} + {(y + \frac{1}{y})}^{2} \geq \frac{1}{2} {(1 + 4)}^{2} = \frac{25}{2}, \end{matrix}

ami bizonyítandó volt.
Az egyenlőség jele akkor áll, ha

x = y = \frac{1}{2}

Ádám Antal (Bp. VIII., Széchenyi g. II. o. t.)