Kezdőlap


Feladat:	262. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Ádám Antal
Füzet:	1955/november, 117. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Kombinációk, Oszthatóság, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/március: 262. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kifejezésünket közös nevezőre hozva

\begin{matrix} \frac{m^{4} + 6 m^{3} + 11 m^{2} + 6 m}{24} . \end{matrix}

A számláló így alakítható át:

\begin{matrix} m (m^{3} + 6 m^{2} + 11 m + 6) = m (m^{3} + 5 m^{2} + m^{2} + 6 m + 5 m + 6) = \\ = m [m (m^{2} + 5 m + 6) + (m^{2} + 5 m + 6)] = m (m^{2} + 5 m + 6) (m + 1) = \\ = m (m + 1) (m^{2} + 3 m + 2 m + 6) = m (m + 1) [m (m + 2) + 3 (m + 2)] = \\ = m (m + 1) (m + 2) (m + 3) . \end{matrix}

Így a számlálót négy egymásutáni egész szám szorzatára bontottuk. E tényezők közül mindig van két egymás után következő páros szám, amelyek közül az egyik szükségképpen 4-gyel is osztható, és így szorzatuk osztható

2 \cdot 4 = 8

-cal. A négy szám közül mindig van legalább egy 3-mal osztható. Mivel 8 és 3 relatív prím, azért a számláló mindig osztható

8 \cdot 3 = 24

-gyel.

Ádám Antal (Bp. VIII., Széchenyi g. II. o. t.)

Megjegyzés: Aki a kombinációkat és azok számát ismeri, az felismeri, hogy kifejezésünk az

m + 3

elemből alkotható negyedosztályú kombinációk számát jelenti:

C_{m + 3}^{4} = (\binom{m + 3}{4}) = \frac{(m + 3) (m + 2) (m + 1) m}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}