Kezdőlap


Feladat:	260. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Halmágyi Ákos , Jager Júlia , Pásztor Katalin
Füzet:	1955/november, 115 - 116. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Hossz, kerület, Terület, felszín, Négyszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/február: 260. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Jelöljük az adott derékszögű háromszög befogóit $a$ -val és $b$ -vel. átfogóját $c$ -vel, a szerkesztendő téglalap oldalait $x$ - és $y$ -nal.
A feladat szerint

\begin{matrix} x + y = c . & (1) \\ x y = \frac{a b}{2} . & (2) \end{matrix}

x

és

y

tehát a következő másodfokú egyenlet két gyöke:

\begin{matrix} x^{2} - c x + \frac{a b}{2} = 0. \end{matrix}

Ebből (Pythagoras tételének felhasználásával)

\begin{matrix} x_{1,2} = \frac{c \pm \sqrt[]{c^{2} - 2 a b}}{2} = \frac{c \pm \sqrt[]{a^{2} + b^{2} - 2 a b}}{2} = \frac{c \pm (a - b)}{2} . \end{matrix}

Tehát a keresett téglalap oldalai

\begin{matrix} x_{1} = y_{2} = \frac{c + a - b}{2} = s - b, x_{2} = y_{1} = \frac{c - a + b}{2} = s - a \end{matrix}

könnyen szerkeszthetők. Mindig van egy és csakis egy megoldás.

Pásztor Katalin (Tatabánya, Rákosi Mátyás g. II. o. t.)

II. megoldás: Feladatunk szerint egy adott

c

szakasz oly módon bontandó két részre, hogy a két szakasszal mint oldalakkal szerkesztett téglalap megadott területtel, mégpedig az adott derékszögű háromszög területével, legyen egyenlő.

Először alakítsuk át az adott háromszög területét négyzetté, például úgy, hogy

a

és

\frac{b}{2}

között mértani középarányost szerkesztünk, ez lesz a keresett négyzet oldala:

p

(lásd ábrát). Ezután szerkesszünk

A B = c

fölé olyan

A B C^{*}

derékszögű háromszöget, melynek az átfogóra merőleges magassága az előzőleg megszerkesztett

p

. Ennek a háromszögnek az átfogóra merőleges magassága az átfogót a keresett

x

és

y

részekre bontja, a derékszögű háromszögre vonatkozó ismeretes mértani középarányos tétel szerint.

Jäger Zsófia (Kiskunhalas, Szilády Áron g. II. o. t.)

III. megoldás: A 251. gyakorlatban bebizonyítottuk, hogy a derékszögű háromszögbe írt kör érintési pontja az átfogón utóbbit olyan részekre osztja, amelyek szorzata egyenlő a derékszögű háromszög területével. Nem kell tehát egyebet tenni, mint a beírt kör

O

középpontjának merőleges vetületét,

O'

-t az

A B

átfogón megszerkeszteni (lásd ábrát).

Halmágyi Ákos (Mosonmagyaróvár, Kossuth g. I. o. t.)