Kezdőlap


Feladat:	259. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Behringer Tibor , Gelencsér László
Füzet:	1955/november, 113 - 115. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Hossz, kerület, Terület, felszín, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/február: 259. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: a) Jelöljük a befogókat $a, b$ -vel, az átfogót $c$ -vel, a keresett távolságot $x$ -szel.
A feladat értelmében

\begin{matrix} \frac{(a - x) (b - x)}{2} = \frac{a b}{4}, \end{matrix}

vagy rendezve

\begin{matrix} 2 x^{2} - 2 (a + b) x + a b = 0 \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} x_{1,2} = \frac{2 (a + b) \pm \sqrt[]{4 (a^{2} + 2 a b + b^{2}) - 8 a b}}{4} = \\ = \frac{a + b \pm \sqrt[]{a^{2} + b^{2}}}{2} = \frac{a + b \pm c}{2} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} x_{1} = \frac{a + b - c}{2} = s - c = ϱ, \end{matrix}

ahol

s

a háromszög félkerülete és

ϱ

a beírt kör sugara.
A megrövidített befogók hossza:

\begin{matrix} a - ϱ = a - \frac{a + b - c}{2} = \frac{a - b + c}{2} = s - b, \\ b - ϱ = b - \frac{a + b - c}{2} = \frac{b - a + c}{2} = s - a . \end{matrix}

Ugyanerre az eredményre jutunk, ha az

x_{2} = \frac{a + b + c}{2} = s

gyököt vesszük figyelembe és a negatív

a - s

valamint

b - s

helyett az abszolút értékeket:

(s - a)

-t és

(s - b)

-t tekintjük.

b

) Jelöljük a keresett távolságot

y

-nal. A feladat szerint

\begin{matrix} a + b + c = 2 (a - y) + 2 (b - y), \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} 4 y = 2 a + 2 b - a - b - c = a + b - c, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} y = \frac{a + b - c}{4} = \frac{s - c}{2} = \frac{ϱ}{2} . \end{matrix}

Behringer Tibor (Bp. III., Árpád g. III. o. t.)

II. megoldás: A betűzést az ábra mutatja.

Jelöljük az eredeti háromszög területét

t

-vel. A 251. gyakorlatban bizonyítottuk, hogy

\begin{matrix} c_{1} c_{2} = t, vagyis \frac{c_{1} c_{2}}{2} = \frac{t}{2} \end{matrix}

c_{1} = a - ϱ

c_{2} = b - ϱ

, és így nyilvánvaló, hogy

ϱ

-val kell a derékszögű háromszög befogóit megrövidíteni, hogy félakkora területű derékszögű háromszög befogóit kapjuk.

b)

A derékszögű háromszög kerülete

\begin{matrix} 2 c_{1} + 2 c_{2} + 2 ϱ, \end{matrix}

és így a téglalap félkerülete, vagyis két szomszédos oldalának összege

\begin{matrix} c_{1} + c_{2} + ϱ = (c_{1} + \frac{ϱ}{2}) + (c_{2} + \frac{ϱ}{2}) = (a - \frac{ϱ}{2}) + (b - \frac{ϱ}{2}) . \end{matrix}

Tehát

\frac{ϱ}{2}

-vel kell a befogókat megrövidíteni, hogy ugyanakkora kerületű téglalap szomszédos oldalait nyerjük.

Gelencsér László (Pannonhalma, Bencés g. II. o. t.)