Feladat: 258. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Jajczay Ágnes ,  Kozma Tibor ,  Kristóf László 
Füzet: 1955/november, 112 - 113. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Körérintési szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1955/február: 258. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyen O1 és O2 az egymást érintő két r sugarú kör középpontja, az érintési pont E. A feltételeknek megfelelő harmadik kör középpontja O; e kör a másik két kört a közös E ponton kívül A-ban és B-ben metszi (lásd ábrát).

 
 

Az E pont az O1O2 centrális felezőpontja. Az O középpont E-től, A-tól és B-től egyaránt r távolságra van, és így O1EOA és O2EOB r oldalú rombuszok, amelyeknek EO oldaluk közös és O1E, valamint O2E oldaluk egy egyenesbe esik. Ebből következik, hogy AO és OB is egy egyenesre, az O-n átmenő és O1O2-vel párhuzamos AB átmérőre esik.
 

Kristóf László (Mosonmagyaróvár, Kossuth g. I. o. t.)
 

II. megoldás: A feladat állításával egyenlő értékű állítás, hogy az AEB∢ (lásd ábrát) derékszög. Ezt fogjuk bizonyítani.
Két egymást metsző kör közös húrja merőleges a centrálisra, tehát
AE⊥O1OésBE⊥O2O,
azaz
AEB∢=180∘-O1OO2∢,
mint merőleges szárú szögek. De O1OO2∢, mint az E középpontú r sugarú kör O1O2 átmérőjéhez tartozó kerületi szög, derékszög, tehát AEB∢ is derékszög.
 

Jajczay Ágnes (Bp. IX., Patrona Hungariae lg. I. o. t.)
 

III. megoldás: Az E-ben húzott közös érintő az AEB∢-et α és β szögekre bontja (lásd ábrát). α az O1 középpontú körben az AE húrhoz tartozó kerületi szög, míg az ABE∢ az O középpontú körben ugyancsak az AE húrhoz tartozó kerületi szög. Mivel e két kör egybevágó, az AE húr pedig közös, azért
ABE∢=α.
Hasonlóképpen
BAE∢=β,
és így az AEB▵-ben
2α+2β=180∘,
tehát
α+β=AEB∢=90∘.

Kozma Tibor (Győr, Bencés g. II. o. t.)