Feladat: 256. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ádám A. ,  Argay Gy. ,  Árokszállási K. ,  Bajomi L. ,  Bakó F. ,  Barati I. ,  Bartha Gyöngyi ,  Beliczky T. ,  Beregi P. ,  Csákvári I. ,  Csapody M. ,  Cserepkei F. ,  Csillag A. ,  Danassy K. ,  Farkas Erzsébet ,  Fodor J. ,  Frivaldszky S. ,  Gáti Gy. ,  Grell Mihály ,  Gungl A. ,  Halmágyi Á. ,  Hartmann C. ,  Hegedüs I. ,  Hídvégi Z. ,  Hornyák L. ,  Kim Hen Cse ,  Kim Ju Szon ,  Kristóff L. ,  Makkai Mihály ,  Mészáros L. ,  Molnár J. ,  Molnár S. ,  Papp K. ,  Parlagh Gy. ,  Réffy J. ,  Reichardt M. ,  Rockenbauer A. ,  Rudolf P. ,  Ruppenthal P. ,  Schipp F. ,  Siklósi K. ,  Stáhl Gy. ,  Szaniszló J. ,  Szilárd A. ,  Tatár I. ,  Tihanyi D. ,  Zombori M. 
Füzet: 1955/november, 109 - 110. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Irracionális egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1955/február: 256. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Egyenletünk mindkét oldalát köbre emelve

5+x+3(5+x)2(5-x)+3(5+x)(5-x)2+5-x=55.
Összevonva és 3-mal egyszerűsítve
(5+x)2(5-x)3+(5+x)(5-x)23=5.
A baloldalon a közös tényezőt kiemelve
(5+x)(5-x)3(5+x3+5-x3)=5.
Ezt az eredeti egyenlettel osztva
5-x23=1,
amiből
5-x2=1,
és így
x1=2,x2=-2.

Mivel mindenütt azonos átalakítást végeztünk (a köbgyökvonás a valós számok körében egyértelmű), azért a nyert gyökök ki is elégítik az eredeti egyenletet.
 


Próba:
5+23=85+1683=55+15+35+183==(5+12)33=5+12.


Hasonlóképpen
5-23=5-12,
és így tényleg
5+12+5-12=5.

Grell Mihály (Bp. XVI., Corvin Mátyás g. II. o. t.)
 

II. megoldás: Legyen
5+x3=u,5-x3=v,
akkor nyilván
u3+v3=25.(1)
A feladat értelmében
u+v=5.(2)
(1)-et osztva (2)-vel
u2-uv+v2=2.(3)
(2) négyzete
u2+2uv+v2=5.(4)
(4) és (3) különbsége
3uv=3,azazuv=1,
és így
u3v3=(5+x)(5-x)=5-x2=1,
amiből
x=±2.

Makkai Mihály (Bp. V., Eötvös g. II. o. t.)