Kezdőlap


Feladat:	255. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Csákvári István , Makkai Mihály , Parlagh Gy. , Szilárd A.
Füzet:	1955/október, 50 - 51. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/február: 255. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Adjuk össze a három egyenletet, és emeljük ki a közös $(x + y + z)$ tényezőt.

\begin{matrix} (x + y + z) (x + y + z) = {(x + y + z)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} x + y + z = \pm \sqrt[]{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \end{matrix}

x + y + z

ezen értékét az eredeti egyenletekbe helyettesítve, és feltéve, hogy

a^{2} + b^{2} + c^{2} \neq 0

, vagyis

a

b

c

közül legalább az egyik nem 0, nyerjük a következő két gyökrendszert:

\begin{matrix} x_{12} & = \pm \frac{a^{2}}{\sqrt[]{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} \\ y_{12} & = \pm \frac{b^{2}}{\sqrt[]{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} \\ z_{12} & = \pm \frac{c^{2}}{\sqrt[]{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} \end{matrix}

(Egy gyökrendszeren belül ugyanaz az előjel veendő.)

Csákvári István (Bp. III., Árpád g. II. o. t.)

Megjegyzés : A fenti megoldás helyes, ha az

a

b

és

c

mennyiségek közül egy, vagy két mennyiség 0. Ha

a = b = c = 0

, akkor egyenletrendszerünk az

\begin{matrix} x + y + z = 0 \end{matrix}

határozatlan egyenletbe megy át.

II. megoldás: Láttuk, hogy

a

b

c

közül legalább egyiknek 0-tól különhöznie kell. Tegyük fel, hogy

a \neq 0

, akkor szabad a (2) és (3)-at (1)-gyel osztani. Tehát

\begin{matrix} \frac{y}{x} = \frac{b^{2}}{a^{2}}, amiből (4) y = \frac{b^{2}}{a^{2}} x, \\ \frac{z}{x} = \frac{c^{2}}{a^{2}}, amiből (5) z = \frac{c^{2}}{a^{2}} x . \end{matrix}

Az így nyert értékeket az (1) egyenletbe helyettesítve

\begin{matrix} x (x + \frac{b^{2}}{a^{2}} x + \frac{c^{2}}{a^{2}} x) = x^{2} \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{a^{2}} = a^{2}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} x = \pm \frac{a^{2}}{\sqrt[]{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} . \end{matrix}

x

ezen értékét (4) és (5)-be helyettesítve ugyanazt a gyökrendszert nyerjük, mint az I. megoldásban.

Makkai Mihály (Bp. V., Eötvös g. II. o. t.)