Kezdőlap


Feladat:	254. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Argay Gyula , Könyves Tóth Pál
Füzet:	1955/október, 47 - 49. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/február: 254. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A nevezők $0$ értékét ki kell zárni, mert különben egyenletünk értelmetlen. Tehát $2 x \pm 1 \neq 0$ , azaz $x \neq \pm \frac{1}{2}$ ;
$1 - \frac{2 x - 1}{2 x + 1} = \frac{2}{2 x + 1} \neq 0$ mindig fennáll; $2 - \frac{2 x - 1}{2 x + 1} = \frac{2 x + 3}{2 x + 1} \neq 0$ ,
azaz $x \neq - \frac{3}{2}$ , és végül $3 - \frac{2 x - 1}{2 x + 1} = \frac{4 x + 4}{2 x + 1} \neq 0$ , azaz $x \neq - 1$ .
E kizárt értékek figyelembe vételével, egyenletünk egyes tagjai a következőképpen alakíthatók át:
A baloldal első tagja:

\begin{matrix} \frac{\frac{2 x + 1 - (2 x - 1)}{2 x - 1}}{\frac{2 x + 1 - (2 x - 1)}{2 x + 1}} = \frac{\frac{2}{2 x - 1}}{\frac{2}{2 x + 1}} = \frac{2 x + 1}{2 x - 1} . \end{matrix}

A baloldal második tagja:

\begin{matrix} \frac{\frac{2 x + 1 - (4 x - 2)}{2 x - 1 x}}{\frac{4 x + 2 - (2 x - 1)}{2 x + 1}} = \frac{\frac{3 - 2 x}{2 x - 1}}{\frac{2 x + 3}{2 x + 1}} = \frac{(2 x + 1) (3 - 2 x)}{(2 x - 1) (2 x + 3)} . \end{matrix}

A jobboldal:

\begin{matrix} \frac{\frac{2 x + 1 - (6 x - 3)}{2 x - 1}}{\frac{6 x + 3 - (2 x - 1)}{2 x + 1}} = \frac{\frac{4 - 4 x}{2 x - 1}}{\frac{4 x + 4}{2 x + 1}} = \frac{(2 x - 1) (4 - 4 x)}{(2 x - 1) (4 x + 4)} . \end{matrix}

Egyenletünk tehát ilyen alakot ölt:

\begin{matrix} \frac{2 x + 1}{2 x - 1} + \frac{2 x + 1}{2 x - 1} \cdot \frac{3 - 2 x}{2 x + 3} = \frac{2 x + 1}{2 x - 1} \cdot \frac{4 - 4 x}{4 x + 4} . \end{matrix}

Tekintve, hogy az

x = \pm \frac{1}{2}

értékeket kizártuk,

\frac{2 x + 1}{2 x - 1}

0-tól különböző érték, amellyel egyenletünket osztva, és a jobboldalon 4-gyel egyszerűsítve nyerjük

\begin{matrix} 1 + \frac{3 - 2 x}{2 x + 3} = \frac{1 - x}{x + 1} . \end{matrix}

Mivel már feltételeztük, hogy

x \neq - \frac{3}{2}

és

x \neq - 1

, azért a törteket eltüntetve

\begin{matrix} (x + 1) (2 x + 3) + (3 - 2 x) (x + 1) = (1 - x) (2 x + 3), \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 2 x^{2} + 7 x + 3 = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} x_{1} = - 3, [x_{2} = - \frac{1}{2}] . \end{matrix}

Ez utóbbi gyököt kizártuk, tehát egyenletünk egyetlen gyöke

\begin{matrix} x_{1} = - 3. \end{matrix}

Argay Gyula (Balassagyarmat, Balassi Bálint g. II. o. t.)

II. megoldás: Legyen

\frac{2 x - 1}{2 x + 1} = y

. Feltéve, hogy

x \neq \pm \frac{1}{2}

y

-nak van értelme és ez 0-tól különböző érték.
E behelyettesítést végrehajtva, egyenletünk így alakul:

\begin{matrix} \frac{\frac{1}{y} - 1}{1 - y} + \frac{\frac{1}{y} - 2}{2 - y} = \frac{\frac{1}{y} - 3}{3 - y}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \frac{1 - y}{y} \cdot \frac{1}{1 - y} + \frac{1 - 2 y}{y} \cdot \frac{1}{2 - y} = \frac{1 - 3 y}{y} \cdot \frac{1}{3 - y} . \end{matrix}

(1)

y = 1

y = 2

és

y = 3

értékeket kizárva, ami megfelel az I. megoldásban kizárt értékeknek, (l)-et

y

-nal szorozva

\begin{matrix} 1 + \frac{1 - 2 y}{2 - y} = \frac{1 - 3 y}{3 - y} . \end{matrix}

A törteket eltávolítva

\begin{matrix} (2 - y) (3 - y) + (1 - 2 y) (3 - y) = (1 - 3 y) (2 - y), \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 5 y = 7, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} y = \frac{2 x - 1}{2 x + 1} = \frac{7}{5} . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} x = - 3. \end{matrix}

Könyves Tóth Pál (Bp. V., Eötvös g. II. o. t.)