Kezdőlap


Feladat:	251. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Cseh József , Danassy Károly , Tóth László
Füzet:	1955/október, 45 - 46. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Beírt kör, Terület, felszín, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/január: 251. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyen a háromszög területe $t$ , a beírt kör sugara $ϱ$ , az átfogó két része $x$ és $y$ (1. ábra).

1. ábra

A beírt kör érintési pontjaihoz tartozó sugarai a háromszöget két deltoidra és egy négyzetre bontják. Ez utóbbi három idom területének összege

\begin{matrix} x ϱ + y ϱ + ϱ^{2} = t . \end{matrix}

(1)

Pythagoras-tétele szerint

\begin{matrix} {(x + y)}^{2} = {(x + ϱ)}^{2} + {(y + ϱ)}^{2}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} x y = x ϱ + y ϱ + ϱ^{2} = t . \end{matrix}

Danassy Károly (Mosonmagyaróvár, Kossuth g. I. o. t.)

II. megoldás: A háromszög kétszeres területére (1)-et felhasználva

\begin{matrix} 2 t = (x + ϱ) (y + ϱ) = \\ = x y + x ϱ + y ϱ + ϱ^{2} = x y + t, \end{matrix}

amibő

\begin{matrix} t = x y . \end{matrix}

Cseh József (Bp. VIII., Széchenyi g. II. o. t.)

III. megoldás: Számítás nélkül tisztán terület-átdarabolással is célhoz érhetünk. Egészítsük ki derékszögű háromszögünket téglalappá. A betűzést a 2. ábra mutatja.

2. ábra

Azt kell megmutatni, hogy az

x

és

y

oldalú

O E D F

téglalap területe megegyezik az

A B D_{▵}

területével.
E két idom közös területe a

G E D F H

ötszög.

\begin{matrix} G T O_{▵} ≅ G E B_{▵}, \end{matrix}

mert

T O = E B = ϱ

T ∢ = E = 90^{\circ}

, és a közös

G

csúcsnál levő szögek csúcsszögek.
Hasonlóképpen

\begin{matrix} H T O_{▵} ≅ H F A_{▵} . \end{matrix}

Tóth László (Miskolc, Vill. energiaipari techn. II. o.t.)

Megjegyzés: Ahogy a 250. gyakorlat állítása következett a 251. gyakorlat tételéből, éppen úgy a jelen feladat állítása következménye a 250. gyakorlat bebizonyított tételének, amely szerint

\begin{matrix} z : ϱ = (z + ϱ + y) : y, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} y z = z ϱ + ϱ^{2} + y ϱ = t . \end{matrix}