Kezdőlap


Feladat:	248. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Simák Pál
Füzet:	1955/október, 42 - 43. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek nevezetes tételei, Súlypont, Hossz, kerület, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1955/január: 248. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy az $S$ súlypont a súlyvonalakat a csúcsoktól számítva 2 : 1 arányban osztja (lásd ábrát).

A S B_{▵}

-ben

\begin{matrix} \frac{2}{3} s_{a} + \frac{2}{3} s_{b} > c \end{matrix}

Hasonlóképpen

\begin{matrix} \frac{2}{3} s_{b} & + \frac{2}{3} s_{c} > a \\ \frac{2}{3} s_{c} & + \frac{2}{3} s_{a} > b \end{matrix}

E három egyenlőtlenség összege

\begin{matrix} \frac{4}{3} (s_{a} + s_{b} + s_{c}) > a + b + c = k, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} s_{a} + s_{b} + s_{c} > \frac{3}{4} k . \end{matrix}

Másrészt, ha a háromszög

C

csúcspontját az

A B

oldal felezőpontján át tükrözzük, a nyert

A C C^{*} ▵

-ben

\begin{matrix} C C^{*} = 2 s_{c} < a + b . \end{matrix}

Hasonlóképpen nyerjük, hogy

\begin{matrix} 2 s_{a} < b + c, \\ 2 s_{b} < c + a . \end{matrix}

E három egyenlőtlenség összege

\begin{matrix} s_{a} + s_{b} + s_{c} < \frac{2 a + 2 b + 2 c}{2} = a + b + c = k . \end{matrix}

Simák Pál (Bp. I., Petőfi g. II. o. t.)