Kezdőlap


Feladat:	242. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fekete Lajos , Pakuts János
Füzet:	1955/szeptember, 19 - 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Hozzáírt körök, Hossz, kerület, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/december: 242. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A betűzést az 1. ábra mutatja.

1. ábra

Ismeretes, hogy adott pontból adott körhöz húzott két érintőszakasz egyenlő, tehát

\begin{matrix} A D = A E és B E = B F, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} b + ϱ_{a} = c + a - ϱ_{a}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} c - b = 2 ϱ_{a} - a . \end{matrix}

(1)

Másrészt Pythagoras tétele alapján

\begin{matrix} c^{2} - b^{2} = a^{2} . \end{matrix}

(2)

(2)-t (1)-gyel osztva, nyerjük

\begin{matrix} c + b = \frac{a^{2}}{2 ϱ_{a} - a}, \end{matrix}

és így a keresett kerület

\begin{matrix} 2 s = a + b + c = a + \frac{a^{2}}{2 ϱ_{a} - a} = \frac{2 ϱ_{a} a}{2 ϱ_{a} - a} \end{matrix}

Fekete Lajos (Debrecen, Református g. II. o. t.)

II. megoldás: Szerkesszük meg az

a

-hoz írt körön kívül a háromszögbe írt kört is. A betűzést a 2. ábra mutatja.

2. ábra

A két kör középpontja (

O_{a}

és

O

) az

A

csúcspontból kiinduló szögfelezőn van.
Ismeretes, hogy (a háromszög félkerületét

s

-sel jelölve)

\begin{matrix} A D = s és A E = s - a, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} s - (s - a) = a = D E = \\ = D C + C E = ϱ_{a} + ϱ, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} ϱ = a - ϱ_{a} . \end{matrix}

A O_{a} D_{▵} \sim A O E_{▵}

, tehát a megfelelő oldalak aránya egyenlő, vagyis

\begin{matrix} ϱ_{a} : ϱ = ϱ_{a} : (a - ϱ_{a}) = s : (s - a), \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} s = \frac{ϱ_{a} a}{2 ϱ_{a} - a}, és így 2 s = \frac{2 ϱ_{a} a}{2 ϱ_{a} - a} . \end{matrix}

Pakuts János (Győr, Bencés g. I. o. t.)