Kezdőlap


Feladat:	239. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Cserteg István , Décsey Julianna , Pak To Ha , Tóth László
Füzet:	1955/május, 140. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Polinomok szorzattá alakítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1954/december: 239. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Jelöljük kifejezésünket $N$ -nel. Szorozzuk az első két tag öszegét $(a + b) = 1$ -gyel:

\begin{matrix} N & = (a^{3} + b^{3}) (a + b) + 3 a^{3} b + 3 a b^{3} + 6 a^{2} b^{2} (a + b) = \\ = a^{4} + a^{3} b + a b^{3} + b^{4} + 3 a^{3} b + 3 a b^{3} + 6 a^{2} b^{2} = \\ = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4} = {(a + b)}^{4} = 1. \end{matrix}

Pak To Ha (Pécs, Bányaip. techn. II. o. t.)

II. megoldás: Mindig figyelembe véve, hogy

a + b = 1

\begin{matrix} N & = a^{3} + b^{3} + 3 a b (a^{2} + b^{2}) + 6 a^{2} b^{2} (a + b) = \\ = a^{3} + b^{3} + 3 a b (a^{2} + b^{2}) + 6 a^{2} b^{2} = a^{3} + b^{3} + 3 a b (a^{2} + 2 a b + b^{2}) = \\ = a^{3} + b^{3} + 3 a b {(a + b)}^{2} = a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b) = \\ = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} = {(a + b)}^{3} = 1. \end{matrix}

Tóth László (Miskolc, Vill. energia ip. techn. II. o)

III. megoldás: Szem előtt tartva, hogy

a + b = 1

\begin{matrix} N & = a^{3} + b^{3} + 3 a^{3} b + 3 a b^{3} + 6 a^{2} b^{2} (a + b) = \\ = a^{3} + b^{3} + 3 a^{3} b + 3 a b^{3} + 3 a^{2} b^{2} + 3 a^{2} b^{2} = \\ = a^{3} + b^{3} + 3 a^{2} b (a + b) + 3 a b^{2} (a + b) = {(a + b)}^{3} = 1. \end{matrix}

Cserteg István (Bp. VIII., Széchenyi g. II. o. t.)

IV. megoldás: Kifejezésünk így is írható

\begin{matrix} N & = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) + 3 a b (a^{2} + b^{2}) + 6 a^{2} b^{2} (a + b) = \\ = a^{2} - a b + b^{2} + 3 a b (a^{2} + b^{2}) + 6 a^{2} b^{2} = \\ = a^{2} - a b + b^{2} + 3 a b (a^{2} + 2 a b + b^{2}) = \\ = a^{2} - a b + b^{2} + 3 a b {(a + b)}^{2} = a^{2} - a b + b^{2} + 3 a b = \\ = a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2} = 1. \end{matrix}

Décsey Julianna (Karcag, Gábor Áron g. II. o. t.)