Feladat: 238. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bartha Gyöngyi ,  Bayer Márta ,  Behringer T. ,  Beliczky T. ,  Beregi P. ,  Csapody M. ,  Dobrovolszky A. ,  Dormány M. ,  Fekete L. ,  Ferentzy Ö. ,  Frivaldszky S. ,  Gáti Gy. ,  Gergő Éva ,  Glattfelder Gy. ,  Hartmann G. ,  Hoffmann Gy. ,  Jójárt Kornélia ,  Jókuti F. ,  Katona Marianna ,  Kengyel Vilma ,  Kovács L. ,  Kozma T. ,  Makkai M. ,  Mató Gyöngyi ,  Pak To Ha ,  Papp K. ,  Parlagh Gy. ,  Poghány E. ,  Répássy Cs. ,  Rockenbauer A. ,  Rudolf P. ,  Salát P. ,  Schipp F. ,  Siklósi K. ,  Simók P. ,  Solymár Klára ,  Stáhl J. ,  Surányi Gy. ,  Szabó G. ,  Szaniszló J. ,  Szatmáry Z. ,  Szebeni A. ,  Szilárd A. ,  Tokodi A. ,  Tringer L. ,  Ujjady I. ,  Vámos A. 
Füzet: 1955/május, 139. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nevezetes azonosságok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1954/december: 238. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egyenletünk így is írható

(x-y)(x+y)=a2.(1)
I) Ha a páratlan, akkor válasszuk az x és y pozitív egész számokat úgy, hogy
x-y=1,x+y=a2.

Ezen egyenletrendszerből adódó
x=a2+12ésy=a2-12
értékek mindig pozitív egész számok, ha a 1-nél nagyobb páratlan szám.
II) Ha a páros, akkor a2 (1) alapján a következőképpen bontható fel tényezőkre
x-y=2,x+y=a22,
amiből
x=a2+44ésy=a2-44

Mivel a páros, azért a2 4-gyel osztható, és így mind x, mind y pozitív egész szám, hacsak a páros a>2.
Minthogy a-ra nézve minden lehetséges esetet tekintetbe vettünk, tételünket bebizonyítottuk.
 

Bayer Márta (Bp. XX., Bagi Ilona leányg. I. o. t.)

 

Megjegyzés: Az egyenletnek általában nemcsak az itt megadott, egy megoldása van. Mindig pozitív egész x és y gyököket nyerünk, ha a2-et két egymástól különböző és egyező párosságú tényezőre bontjuk és ezek kisebbikét választjuk x-y-nak, a nagyobbikat pedig x+y-nak.